Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ТР 2 < =222<*> *¦ (21а)
а a? х /
Здесь Я$:/а есть элемент матрицы, равной f-й степени матрицы (#('#., /«)) *).
Литература
1.С. J. В г est er, Diss. Utrecht, 1923; диссертация опубликована в Gottingen Institut fur theor. Physik, p. 8—90.
2. D. M. D e n n і s о n, Astrophys. J. 62, 87 (1925).
3. H. A. Be the, Ann. Physik 3, 133 (1929).
4. W. H e і 11 e r, Z. Physik 46, 47 (1927).
5. W. Heisenberg, Z. Physik 49, 619 (1928).
з
Ф. ЗЕЙТЦ
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
(Ann. of Math. 37, 17, 1936)
Введение. Благодаря установлению связи между теорией групп и квантовой механикой, на которую вначале указал Виг-нер [1] и которая была подробно исследована Вигнером, фон Нейманом и Вейлем, работа Фробениуса и Шура по неприводимым представлениям групп заняла особенно важное место в математической подготовке физика. Правда, во многих прежних приложениях теории групп (например, к теории атомных спектров) получались только уже известные результаты и групповое рассмотрение способствовало главным образом четкому выяснению взаимосвязи между различными сторонами проблемы. Однако при распространении квантовомеханических методов на новые области физики теоретико-групповое рассмотрение становилось все более и более необходимым. В частности, развитие некоторых разделов теории твердого тела оказалось непосредственно связанным с развитием теории групп (см., например, [2]). По этой причине несомненно можно сказать, что теория представлений пространственных групп окажется весьма полезной в будущем при развитии квантовой теории твердого тела. Эти соображения и определяют характер дальнейшего изложения.
1. Теория пространственных групп. Представляется целесообразным изложить вначале основные положения и наиболее существенные результаты теории пространственных групп, которые нам в дальнейшем понадобятся.
Исходным пунктом служит предположение о том, что каждый кристалл инвариантен относительно преобразований дискретной трехпараметрической группы трансляций вида
Тпхп2пГ n{t{+n2t2 + n3ts. (1)
Здесь tu h, h — три основных трансляционных вектора решетки:
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
!73
таких, что определитель
1]
hl
'з.
12
t22
^32
13
^23
І 33
не обращается в нуль, а п\, п2, п3 — произвольные целые числа. Эту группу трансляций следует далее рассматривать как инвариантную подгруппу всех групп более высокого порядка, относительно которых кристалл может быть инвариантным, а проблема исследования пространственных групп состоит в отыскании групп преобразований типа
х\ = ап*, + al2JC2 + а,з*3 +
Х2 = а21*1 + а22*2 + а23^3 + Х3 = аЗ\Х\ ^32^2 ^ аззхз 'з»
допускающих группу (1) в качестве инвариантной подгруппы. В дальнейшем мы будем использовать обозначения, в которых соотношения (3) принимают вид
xf = ах + t. (4)
Здесь х\ X и / — одностолбцовые матрицы
(х'\
i
X1
х'
>
X2
хг.
А.
I
'flu
а,2
аіз\
а22
o23
¦
\
a3i
а>з2
йзз/
а а — матрица
Равенство (4) можно переписать в операторном виде
x' = {a\t}x = %x.
(5)
Здесь введен линейный оператор {a\t}, действующий на вектор А', в соответствии с (4). Произведение двух операторов % и 33 = = {?|/'} равно
{a I {РІП «{a? |а/' + /}, (6)
где произведение матриц a? играет ту же роль, что и матрица поворота а, а вектор а/' + / — ту же роль, что и трансляционная
174
Ф ЗЕЙТЦ
матрица, или вектор t в равенстве (4). Пространственные операторы 91, Ъ и (S служат обобщением обычных точечных операторов поворота и сводятся к последним, когда вектор трансляции обращается в нуль. Оператор {є 10}, где є — единичная матрица и 0 — одностолбцовая матрица с компонентами, равными нулю, представляет собой единичный элемент, а элемент {а"11— а'Ч} служит, очевидно, обратным для элемента [a\t\. В выбранных обозначениях элементы группы трансляций (1) имеют вид
{е I nxti + n2t2 + n3t3} = {є I nxt{) {є I n2t2) {e I n3t3}. (7)
С указанной точки зрения теория пространственных групп есть наука о группах операторов (5), обладающих инвариантной подгруппой типа (7). Это накладывает двоякие ограничения на природу получающихся групп: во-первых, возникают ограничения на природу возможных поворотов; во-вторых, соответствующие ограничения накладываются и на вид векторов tu h и h (в (1)). Эти ограничения тесно связаны между собой, так что допустимые значения векторов tu h и /3 зависят от вида элементов поворота и наоборот. Полное рассмотрение этого вопроса дано в работе [3] (см. также последующие работы), ниже мы изложим лишь основные выводы и теоремы.
I. Все допустимые матрицы поворотов можно привести к виду
/1
0
0
0
СОЭф
— sin ф
Ко
sinq>
COS ф
где ф = 2ят/п, п принимает целочисленные значения 1, 2, 3, 4 и 6, a m — произвольное целое число, меньшее или равное п по абсолютной величине. Из элементов, которым соответствуют только такие матрицы, можно составить тридцать две группы вращений, называемые кристаллическими классами. Именно эти группы описывают макроскопические свойства симметрии кристаллов; такие и только такие группы встречаются в природе.
