Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
2 ((о0-'(оГ')й+"г. (16)
Здесь, вообще говоря, cov есть элемент матрицы 9R, отвечающий ф?; выражение (16) обращается в нуль, если ((O0CD1)""1 отлично от корня г-й степени из единицы. Обозначим эти корни через Gi (J=I1 2, г), тогда выражение (15) принимает вид
Xl=1Ii вЭД. (17)
Отсюда сразу же вытекает, что функция вообще говоря, есть собственная функция оператора 33, принадлежащая собственному значению GrW'. Но совокупность этих функций при фиксированном і принадлежит тому же неприводимому
12*
180
Ф. ЗЕЙТЦ
представлению группы Gn+U что и совокупность функций qpx (при фиксированном х). Таким образом, функции x/t образуют пространство, неприводимое относительно преобразований группы Gh. Итак, имеет место следующая теорема:
Теорема I. Если каждое из подпространств a1' (i = 0, 1, ... г—1) пространства 2 принадлежит различным представлениям группы Ga1+I, то пространство 2 неприводимо относительно преобразований группы Gn. Если все представления эквивалентны, то пространство S может быть приведено к г неприводимым подпространствам равной размерности. Если в каждом подпространстве представители группы G/J+1 выбраны одинаковыми, то представлением элемента Ъ служит матрица Ш, умноженная на корень r-й степени из единицы.
Ясно, что случай, когда подпространство а0 и некоторое подпространство о1 не независимы, может иметь место, только если представления Ri и R0 эквивалентны, так что при іфг мы должны иметь о2' = <т° и т. д.; при этом пространство 2 тождественно с подпространством о0 и представлением элемента S служит просто матрица 3?"1.
Далее, в последовательности (8) группа G1n будет группой трансляций группы G\\ ее всегда можно привести, выбрав в качестве координатной системы функции типа
Л*е/Х-Г, (18)
где T]x — функция, инвариантная относительно преобразований группы трансляций, а х— постоянный вектор. С физической точки зрения всегда удобно ограничить значения вектора х так, чтобы для каждого основного трансляционного вектора t\, t2, h выполнялось равенство Nw t{ = 2л, где Ni— целые числа. Другими словами, вектор х должен быть вектором обратной решетки кристалла. С нашей теперешней точки зрения это важно в том отношении, что все рассматриваемые представления группы трансляций оказываются конечными, и порядок их не превосходит NiN2Nz- Это позволяет применить доказанную выше теорему, которая дает простой непосредственный метод полного приведения любой пространственной группы.
В следующем разделе будут изложены соображения, которые, вообще говоря, упрощают процесс приведения группы Gi, позволяя перейти от неприводимой формы отдельной подгруппы группы Gi к неприводимой форме самой группы Gi. Рассматриваемая подгруппа, разумеется, также будет разрешима, так что ее всегда можно привести с помощью доказанной теоремы; иногда, правда, ее можно привести и сразу, используя некото-
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
181
рые известные результаты относительно приведения макроскопических кристаллографических групп.
3. Дополнительные упрощения. Пусть порядок фактор-группы Gi/Г, где Gi — данная пространственная группа, а Г — группа трансляций, равен п. Как мы видели в разделе 1, имеется п преобразований Яь %п (9li = (?), представляющих соответствующие смежные классы и таких, что любой элемент группы G равен произведению одного из этих преобразований на элемент группы трансляций. Выберем теперь координатную систему в гильбертовом пространстве так, чтобы все функции имели вид (18). Тогда из любой заданной функции Ip1 =цхеЫ1'г можно получить остальные п—1 функций этого типа, подвергая ее действию п преобразований 91г-. Будем считать, что эти п функций
«,oh = <ф,, 9I2^1 = і|>2> ..., Яяф, = г|)„
линейно независимы; пусть они образуют n-мерное пространство 2П. Предположение о линейной независимости не выполняется, если вектор х инвариантен относительно некоторых преобразований 9I1-: функции т|, получающиеся при таком преобразовании, не являются линейно независимыми. Сейчас, однако, нет необходимости явно исключать эти случаи, так как отсутствие линейной независимости отразится лишь на размерности представлений, рассмотрение которых в дальнейшем проводится так, что неприводимые части, которые имелись бы в отсутствие линейной зависимости, полностью исключаются.
Поскольку произведение любых двух преобразований 91 равно третьему, умноженному на элемент группы трансляций, ясно, что если вместо грі выбрать любую другую функцию из системы (18), то под действием преобразований 91 будет порождаться та же система функций Иначе говоря, пространство инвариантно относительно преобразований полной пространственной группы. Это означает, что мы выполнили частичное приведение, разложив полное пространство на n-мерные подпространства, и далее можно ограничиться рассмотрением последних.
Лемма I. Под действием любого элемента группы функции (v= 1, ..., /) подпространства Sn, принадлежащие данному представлению T1 группы трансляций, переходят в функции, принадлежащие представлению T2. Представления Т\ и T2 могут быть или не быть эквивалентными.
