Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
II. В любой пространственной группе матрицы поворотов образуют одну из указанных тридцати двух групп, так что каждая пространственная группа может быть связана с определенным кристаллическим классом.
III. Ограничения, накладываемые на группы трансляций, рассматриваемые как инвариантные подгруппы пространственных групп, связанных с данным кристаллическим классом, зависят только от класса, но не от всей пространственной группы.
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
175
Иначе говоря, названные ограничения определяются только поворотами, входящими в пространственные операторы. Эти ограничения приводят к тому, что оказываются возможными только четырнадцать типов групп трансляций, начиная с группы, в которой все компоненты векторов tu h и U произвольны (классы Ci и Si триклинной системы), и кончая тремя типами групп, в которых произвольна только одна компонента каждого из трех основных трансляционных векторов (группы Г, Tdy Thy О и Oh кубической системы).
IV. Каждому классу и каждой группе трансляций (т. е. каждому подклассу) соответствует по крайней мере одна пространственная группа, так что общее их число равно 230*). В общем случае элементы этих групп обладают следующими характерными свойствами:
а) Для любой пространственной группы все операторы, содержащие данный поворот а, могут быть записаны в виде {<x\v(а)}{є|/}, где {s\t}— элемент группы трансляций (в группу будут входить пространственные операторы, соответствующие всем разрешенным значениям вектора /), a v(а)—некоторый заданный для данной группы вектор. Другими словами, факторгруппа пространственной группы по подгруппе трансляций изоморфна просто группе вращений данного кристаллического класса.
б) Поскольку пространственная группа однозначно характеризуется соответствующим ей подклассом и векторами v(a) для каждого поворота а, дальнейшую классификацию можно провести, подразделяя пространственные группы по свойствам названных векторов:
i) пространственные группы, элементы которых таковы, что все векторы V (а) могут быть положены равными нулю;
ii) пространственные группы, для элементов которых векторы V (а) можно выбрать так, чтобы их компоненты в направлении, связанном с элементом 1 матрицы а, были равны нулю. Для таких пространственных групп, содержащих группы (і) как частный случай, координатную систему можно выбрать так, чтобы любой из векторов V (а) обращался в нуль;
iii) пространственные группы, для которых по крайней мере один из векторов V (а) имеет отличную от нуля компоненту в направлении, связанном с элементом 1 матрицы а. Геометрически это означает, что имеется по крайней мере один тип преобразований симметрии, который нельзя рассматривать как просто поворот или отражение с последующей трансляцией.
*) Все пространственные группы были найдены Е. С. Федоровым (1890 г.). —Прим. ред.
176
Ф ЗЕЙТЦ
в) Пусть п есть порядок группы данного кристаллического класса. Составим п—1 смежных классов связанной с ней пространственной группы, тогда из свойства (а) видно, что все элементы каждого из смежных классов имеют одну и ту же матрицу поворота, и можно считать, что они порождаются при умножении оператора {a\v(a)} на все элементы группы трансляций. Если к представителям полученных п—1 смежных классов добавить элемент {е|0}, то получится совокупность п элементов, находящихся в однозначном соответствии с элементами класса; в случае (і) эту совокупность можно считать тождественной группе.
V. Каждую пространственную группу можно рассматривать как подгруппу группы типа (і) (см. свойство IV6). Действительно, при соответствующем выборе координатной системы вектор V (а) для всех пространственных операторов может быть записан в виде
V (а) = а,/, H- a2t2 + a3t3,
где t\% t2 и — основные трансляционные векторы, аи а2 и а3 — некоторые дроби. Если привести их к общему знаменателю, скажем /г, то данную пространственную группу можно рассматривать как подгруппу пространственной группы типа (і), для которой t\ = t\/n и т. д. Во всех реальных случаях величина п не превосходит 8.
VI. Любая кристаллографическая точечная группа С\ разрешима *), т. е. можно составить такой композиционный ряд
Сь C2, ..., Cn = e1
что фактор-группа Сі/Сі+\ представляет собой абелеву группу, порядок которой равен простому числу.
Из всего, что было сказано выше относительно связи между точечными и пространственными группами, ясно, что аналогичное утверждение справедливо и для пространственных групп. Отличие состоит лишь в том, что вместо точечной группы Ci будет стоять соответствующая ей пространственная группа, так что, например, Cn заменяется группой трансляций. В дальнейшем мы будем рассматривать только конечномерные представления группы трансляций, так что для наших целей все пространственные группы можно считать разрешимыми.
2. Теорема о приведении конечных разрешимых групп. Свойство разрешимости представляет собой существенную характеристику пространственных групп и служит основанием для схе-
*) Фробениус уделил значительное внимание исследованию разрешимых гр)ип (см. [4] и последующие работы).
