Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пх) = <7,<> + <72<> + • • • + Яп«%. (»2)
где Qi — заряд /-й частицы. Используя соотношение (3), находим
= 2^(/?)^«'. (13)
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
169
С другой стороны, очевидно, что P преобразуется как вектор: V(R)PP=JZRgPJP. (13а)
Следовательно,
S RvP^ = S D (/?)Лх /><»; /#> = 2 R<#D (R)^ Р(аК). (14)
Просуммируем правую часть (14) по всем элементам R группы G. Результат, вообще говоря, будет равен нулю; исключение составляет случай, когда матрица (/?a?), рассматриваемая как представление группы G9 содержит неприводимое представление D(R)у принадлежащее данной частоте*). Это возможно, если величина
(1 + cos фд) %(р) (R) — 2" (1 +cos<pA)xW)
(по собственным (по несобственным
поворотам) поворотам)
(15)
равна нулю. При этом колебание активно, в противном случае оно неактивно**). В предыдущем примере активны только две трехкратно вырожденные частоты.
Наличие или отсутствие моментов высших порядков может быть установлено аналогичным образом.
Для явного определения амплитуд отдельных колебаний лучше всего воспользоваться равенствами (2) и (3). Таким путем получаем
V (R) <> = 5 V«*1' со» - ? (,6>
P а
откуда
*) Таким образом, наибольшее число типов активных нормальных колебаний равно трем; если их три, то все они должны быть невырожденными (т. е. каждой частоте должно соответствовать одно колебание). Могут быть также два активных типа колебаний, в этом случае вырождение будет двукратным. Наконец, возможно, что активно лишь одно трехкратно вырожденное колебание (так, например, обстоит дело в случае тетраэдрической симметрии). Отсюда следует, что представление Ra$ может состоять либо из трех одномерных, либо из одного одномерного и одного двумерного, либо из одного трехмерного неприводимого представления.
**) Следует отметить, что табл. I и II содержат только по одному столбцу на класс, так что нужно взять каждое произведение столько раз, сколько элементов в классе. Например,
?х(4) («)(1+2созфя)-
= 1 - 3-3 + 8-0-0 + 3(-1)(-1) + 6(-1)( + 1) + 6. 1 •(-1)-0.
170 Е. ВИГНЕР
Последнее соотношение связывает смещения эквивалентных точек, и часто его бывает достаточно для определения искомых амплитуд. В противном случае приходится вернуться к уравнениям движения *).
Чтобы ввести сюда характеры вместо коэффициентов представления D(/?)xx, умножим равенство (16) на %(p)(R) — характер неприводимого представления группы G — и просуммируем результат по всем элементам группы. С помощью соотношений ортогональности для коэффициентов представления находим
S S %<р,) <*> *««?- • «о ? - S E *™ <*> °{р) <*ь*- тЬрр,и%)-
R ? «*¦ р
(18)
Это выражение обращается в нуль, если %(p/)(R) есть характер представления, отличного от представления D(P)(R).
4. Частоты нормальных колебаний равны квадратным корням из собственных значений Зл-мерной матрицы (#лр,/а)- Соответствующие собственные векторы образуют систему амплитуд нормальных колебаний. Обозначим частоты, принадлежащие представлению Z)(p)(/?), через <dpi, ©р2, G?>pa, a fP колебаний частоты (Ира — через uSpux\ ulpaf\ Тогда
Если величины и\рааУІ) нормированы,
Ia
ТО
222<<a*><aK) = "Wa. (19а)
P а у.
Заменим здесь k на R~x(l), умножим результат на Ra$ и на характер неприводимого представления %{p,){R) и просуммируем его по ? и по элементам группы. Получим
SSS<<->22^x(p'4/?)«A,? =
= 2|/?арХ(р'>(/?)Як-1(/)Р;/а. (20)
р r
*) Это, разумеется, всегда приходится делать, если имеется более одного колебания с данным типом симметрии. Тогда метод проекций позволяет найти только амплитуды незацепляющихся колебаний. — Прим. Нокса и Голда.
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 171
*) Оставшаяся часть настоящей работы не включена в этот перевод. Она содержит обсуждение вопросов, связанных с умножением классов, занимающее одну .страницу, и две страницы таблиц характеров для некоторых кристаллографических групп. — Прим. Нокса и Голда<
Согласно соотношению (18), это есть не что иное, как 222 «Г> J; V «Г > - 2 2 *« ^ (A) Я,-, w ?; la. (20а)
pax ? д
Поскольку собственные векторы нормированы, суммирование по / и а дает для суммы квадратов всех частот, принадлежащих представлению D{p)(R):
Ь 2 =222^ х<"'> W я*-. «,* (20
a a? # /
Сумму в правой части уравнения (21) легко вычислить, если известны уравнения движения системы и, следовательно, матричные элементы Я^;/а. Равенство (21) точно соответствует «формуле для среднего значения» [4]. Если мы знаем, что существует только одно нормальное колебание типа /?, его частоту можно найти непосредственно по формуле (21). В противном случае следует прибегнуть к процедуре, предложенной Гейзенбергом [5], т. е. вычислить матрицы, равные квадрату, кубу и т. д. матрицы (#*?;/a); их собственные значения равны, соответственно, четвертой, шестой и т. д. степеням частот нормальных колебаний, а собственные векторы по-прежнему суть a<Pax). Таким путем можно найти суммы четвертых, шестых и т. д. степеней частот, принадлежащих данному представлению:
