Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Й есть произвольный пространственный оператор, а їй V — операторы трансляций, один из которых, $, произволен, а второй равен
182
Ф. ЗЕЙТЦ
и / функций ?U|^ принадлежат тому же самому представлению. Таким образом, под действием элементов группы Gi подпространство а\ пространства Sn, принадлежащее данному представлению группы трансляций, преобразуется либо само в себя, либо в совершенно другое пространство а}, принадлежащее другому представлению.
Поскольку в качестве / функций г|){, можно выбрать первые / из соответствующим образом расположенных п функций, введенных ранее, все п функций можно разбить на ряд наборов
о}: г|){,
....... (19)
каждый из которых принадлежит одному из различных представлений группы трансляций. Более того, любой набор можно перевести в любой другой с помощью подходящего преобразования из группы Gn.
Лемма II. Преобразования, которые переводят пространство oj само в себя, образуют группу Gj, содержащую полную группу трансляций.
Инвариантность пространства о\ относительно группы трансляций с очевидностью следует из свойства диагональности. Кроме того, ясно, что если это пространство инвариантно относительно преобразований 33 и 91, то оно будет инвариантным и относительно их произведения 8?.
Поскольку всегда имеется такое целое число т, что 9lw = 2, где ?—элемент группы трансляций, зависящий от 51, мы имеем
Следовательно, пространство о\, будучи инвариантно относительно преобразований в правой части этого равенства, должно быть инвариантно и относительно преобразований в левой его части. Соответственно, все такие элементы образуют группу. Легко видеть также, что группы G/ эквивалентны и преобразуются друг в друга под действием элементов группы Gn.
Тогда Но
так что
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
183
Лемма III. Пусть каждое из подпространств о\ полно-стью приведено и разложено на сумму р подпространств oj f (/=1, р)у инвариантных относительно группы Gj. Тогда все элементы группы Gn, не содержащиеся в Gj, переводят каждое подпространство о\ f в пространство о*эквивалентное первому относительно группы G?-
Из эквивалентности подгрупп G] следует, что приведение каждой из них можно осуществить так, что эквивалентные элементы будут приведены к одинаковой форме. Если функции, принадлежащие пространству o\r a 2trt — любой элемент группы Gl9 то мы имеем
Следовательно, если 9Г есть элемент группы Gn, не входящий в Gj, то
Таким образом, функции ifj^ переходят в функции -ф^, преобразующиеся по тому же представлению эквивалентной группы, оставляющей неизменным пространство of. Соберем вместе пространства
°\,k---°U °?..---°?.«: "Ik (2°)
принадлежащие одному и тому же неприводимому представлению эквивалентных групп Gu G/, ..., G?, и обозначим получающееся пространство через 2k'"m. Тем самым будет выполнено дополнительное приведение полной пространственной группы, поскольку матричные элементы, связывающие различные пространства tk "m (образующие в совокупности пространство S7,), обращаются в нуль.
Если данное представление Rls группы Gf встречается в пространстве а\ лишь один раз, то соответствующее подпространство 2s будет неприводимым. Это следует из леммы Шура, согласно которой для любой матрицы, коммутирующей с пространственной группой, матричные элементы, связывающие подпространства aj, обращаются в нуль; названные подпространства соответствуют различным неприводимым представлениям группы трансляций. В любом пространстве а\ элементы такой
184
ф. зерпц
матрицы, связывающие любое пространство oj h с другими, также обращаются в нуль. Но каждое из пространств oj h переходит в любое из пространств а/ h под действием одного из элементов группы Gn, так что рассматриваемая матрица постоянна в пространстве 2Л. Таким образом, пространство 2Л не-приводимо.
В случае, когда представление Rls встречается в пространстве oj более чем один раз (скажем, в пространствах °\ •••» °\ т)> пространство уЬ'-т не будет неприводимым. Легко видеть, однако, что каждое из пространства, ...,2m неприводимо. Действительно, по предположению пространства °\, V •••> 0Im с заданным индексом / неприводимы относительно группы G}9 т. е. ни один элемент этой группы не переводит их друг в друга. Если элемент 91, не входящий в группу Gn переводит эти пространства соответственно в а^, of mi то действие любого другого элемента 33, переводящего пространство о) в а*, должно быть аналогичным. В противном случае элемент 91_133 связывал бы пространства oj k9 oj т, образующие пространство crj, что противоречит предположению. Далее надо лишь повторить доказательство, приведенное в предыдущем абзаце. Таким образом, найдя все неприводимые представления группы G\ в пространстве oj9 мы, по существу, выполнили приведение пространственной группы; остается лишь исследовать представления пространственных групп, для которых матрицы, отвечающие элементам трансляции, постоянны. Иначе говоря, надо рассмотреть лишь пространства oj и связанные с ними представления R\.