Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вышеизложенное позволяет немедленно сделать следующий вывод:
Теорема II. Если пространство о\ одномерно, то пространство Sn неприводимо.
В случае, когда пространство о\ не одномерно, легко найти неприводимые представления для некоторого специального типа пространственных групп. Это можно сделать, когда Gj9 подгруппа группы Gn, оставляющая инвариантным пространство oj9 представляет собой пространственную группу типа (і) (см. раздел 2, пункт IV6). Это, очевидно, включает все случаи, когда сама группа Gn принадлежит к типу (і), и может также включать и некоторые частные случаи, когда Gn есть группа типа (іі) или (iii). Действительно, в этом случае в качестве / пред-
О ПРИВЕДЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
185
ставителей смежных классов можно выбрать элементы вида {а |0}, образующие точечную группу порядка /; представление ее дается матрицами поворота в пространстве о\. Процесс приведения группы Gl сводится тогда просто к приведению этой подгруппы, поскольку единственная матрица, коммутирующая с должна коммутировать и с матрицами представления этой подгруппы и наоборот. Но проблема приведения кристаллографических точечных групп была решена Бете [6]. Таким образом, используя его результаты, легко осуществить приведение пространственных групп указанного специального типа.
Если Gf не есть группа типа (і), то для ее приведения можно воспользоваться методом и результатами раздела 2. Поскольку эта группа часто бывает проще группы Gb использование результатов указанного раздела весьма полезно с практической точки зрения.
4. Физические приложения. Развитая теория составляет основу для исследования собственных функций операторов, встречающихся в физике в тех случаях, когда используются так называемые граничные условия Борна — Кармана [7] и операторы обладают симметрией пространственной группы. Действительно, во всех таких случаях собственные функции будут преобразовываться по одному из неприводимых представлений соответствующей пространственной группы. Так, нормальные координаты, используемые при рассмотрении гармонических колебаний кристаллов и представляющие собой просто собственные функции квадратичной потенциальной энергии, обладающей симметрией пространственной группы, легко получить на основании настоящей работы с помощью алгебраической теории представлений. Этот прием позволяет избежать более громоздких методов, развитых Брестером [8].
При квантовомеханическом рассмотрении поведения электронов в твердых телах чрезвычайно полезным является исходное приближение, в котором взаимодействие электронов друг с другом учитывается с помощью самосогласованного поля [9], так что каждый электрон движется в эффективном поле, создаваемом ядрами и всеми другими электронами. Это поле можно считать одинаковым для всех электронов, и поскольку оно обладает симметрией решетки, электронные волновые функции принадлежат тем или иным неприводимым представлениям группы симметрии. Эти волновые функции всегда будут иметь вид (18). Поскольку функции, принадлежащие одному и тому же неприводимому представлению, соответствуют одному и тому же собственному значению оператора энергии, из теоремы II следует, что число вырожденных состояний будет равно числу
186 ф. ЗЕЙТЦ
представителей смежных классов. Исключение составляет случай, когда указанные смежные классы образуются с помощью группы трансляций как инвариантной подгруппы, и вектор х в выражении (18) инвариантен относительно хотя бы одного из них (кроме единичного). Во всех других случаях с данной величиной х может быть связано более чем одно значение энергии. Если рассматривать собственное значение оператора энергии как функцию вектора х, ?(х), то эта многозначность соответствует разрывам функции E (к) при некоторых значениях х. Есть много экспериментальных указаний на наличие таких разрывов. В настоящей работе развит естественный аппарат для исследования таких задач; частично он уже был опубликован в одном из физических журналов [10] и в дальнейшем будет еще более расширен.
Литература
1. Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
Н. Weу 1, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dutton and Co., 1931.
2. J. H. Van Vl eck, The Theory of Electric and Magnetic Susceptibilities, Oxford, 1932.
3. F. Seitz, Z. Kristallographie 88, 433 (1934).
4. G. Frobenius, Sitzungsber. Preuss. Akad. 337 (1893).
5. I. Schur, Sitzungsber. Preuss. Akad. 164 (1906).
6. H. Be the, Ann. Physik 3, 133 (1929).
E. P. Wigner, Gott. Nachricht. 133 (1930). (См. перевод в этом сборнике, статья № 2.)
7. М. Born, Т. v. Ka rm an, Phys. Z. 13, 297 (1912).
8. С. J. Brester, Kristallsymmetrie und Reststrahlen, Utrecht, 1923.
9. E. P. Wigner, F. Seitz, Phys. Rev. 43, 804 (1933); 46, 509 (1934).
F. S e і t z, Phys Rev. 47, 400 (1935).
10. R. B. Barnes, R. R. Brat tain, F. Seitz, Phys. Rev. 48, 582 (1935).
4
Л. Я. БАУКАРТ, Р. СМОЛУХОВСКИЙ, Е. ВИГНЕР
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА И СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ В КРИСТАЛЛАХ
