Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
(Phys. Rev. 50, 58, 1936)
Хорошо известно, что в пренебрежении взаимодействием между электронами энергетический спектр металла имеет зонную структуру. Вопрос об этих «зонах Бриллюэна» рассматривается здесь с точки зрения теории групп. Согласно последней, каждому значению энергии системы соответствует представление ее группы симметрии. В рассматриваемом случае группа симметрии представляет собой пространственную группу. Основное отличие данной задачи от обычных задач теории групп состоит в том, что обычно представления образуют дискретное множество и могут быть охарактеризованы набором целых чисел (например, азимутальным квантовым числом); представления же пространственной группы образуют непрерывное множество, и их нужно характеризовать непрерывно меняющимися параметрами.
Рассмотрим окрестность некоторого значения энергии, отвечающего определенному представлению. Можно показать, что расположенные в ней значения энергии соответствуют представлениям с параметрами, близкими к параметрам исходного представления. Это не только приводит к хорошо известному выводу о том, что энергия есть непрерывная функция приведенного волнового вектора (компоненты последнего представляют собой вышеупомянутые параметры), но и позволяет, кроме того, последовательно рассмотреть случаи «слияния» зон Бриллюэна. В настоящей работе это рассмотрение выполнено для простой, объемноцентрированной и гранецентрированной кубических решеток; получены различные возможные типы зон.
I
Исследования электронной структуры кристаллов, в частности металлов, проводившиеся на основе теории Блоха, привели к представлению о так называемых зонах Бриллюэна*).
*) На существование таких зон было впервые указано Страттом [1], а затем, независимо, Блохом [2] (см. также [3]). С другой точки зрения этот вопрос рассматривался также Пайерлсом [4]. Связь зон Бриллюэна с законами отражения рентгеновских лучей была впервые отмечена Бриллюзном (см., например, [5]). Важные физические приложения были даны в работах [6] (ср. с работами Хунда [7]). В своих исследованиях Хунд рассматривает те свойства зон Бриллюэна, которые являются общими для всех зон в решетке данного типа (в сущности он вообще не проводит различия между типами зон). В настоящей работе различные типы зон рассматриваются по отдельности. Возникающие при этом различия между типами имеют тот же характер, что
188
Л. П. БАУКАРТ, Р. СМОЛУХОВСКИЙ, Е. ВИГНЕР
Несмотря на то, что эти исследования охватывают значительную часть проблемы, представляется желательным развить теорию с единой точки зрения. Оказывается, что учет особых свойств симметрии различных решеток позволяет выяснить интересные особенности строения зон Бриллюэна, которые не вытекают с очевидностью из существующей общей теории. Эти особенности можно рассмотреть единым образом с помощью методов теории групп*), которые и используются в дальнейшем в настоящей работе. Первая работа в этом направлении принадлежит Зейт-цу [10], и мы будем широко пользоваться его результатами, хотя знакомство с его работой не обязательно для понимания настоящей статьи.
В теории Блоха каждый электрон характеризуется своей волновой функцией. Это предположение эквивалентно приближенному методу Хартри — Фока и сводится к пренебрежению статистическими корреляциями между электронами. В пренебрежении названными корреляциями каждому электрону соответствует свое уравнение Шредингера вида
Здесь V включает как обычный, так и обменный потенциалы ионов и электронов [11]. Потенциал V обладает полной симметрией решетки, т. е. группа симметрии уравнения (1) есть пространственная группа решетки.
Из обычной теории групп [8] следует, что каждому собственному значению уравнения (1) соответствует определенное представление пространственной группы, а размерность представления равна числу собственных функций, отвечающих данному собственному значению**). До этого пункта теория зон Бриллюэна ничем не отличается от теоретико-группового рассмотрения любой другой системы. Но если в атомах, молекулах и т. п. собственные значения уравнения (1) достаточно далеко отстоят друг от друга, то в кристалле они образуют непрерывное множество. В окрестности любого значения E всегда имеется несколько собственных значений; говорят, что представления, со-
и, например, различия между четными и нечетными термами в атомных спектрах. Удивительно, что вообще существуют какие-то свойства, общие для всех зон, однако Хунд показал, что такие свойства действительно имеются и для более сложных кристаллических структур.
*) См., например, [8]. Теорию групп к кристаллическим решеткам впервые применил Бете [9].
**) К преобразованиям симметрии, образующим пространственную группу, следует еще добавить «инверсию времени» (см. [12]). Как было отмечено Хундом, это обстоятельство часто играет весьма важную роль. Однако для исследуемого нами случая кубических решеток последнее преобразование может быть опущено.
(D
теория зон бриллюэна
189
ответствующие этим собственным значениям, образуют окрестность представления, соответствующего величине E для данной зоны Бриллюэна. Таким образом, должна существовать определенная топология представлений. Ниже будет показано, что частично она не зависит от вида зоны Бриллюэна. Даже если величины Е, E', ... лежат в различных зонах Бриллюэна, но отвечают одному и тому же представлению, в окрестности E будут расположены значения энергии, представления которых (за некоторыми исключениями) будут совпадать с представлениями, соответствующими значениям энергии, лежащим в окрестности E' и т. д. С математической точки зрения исследование «топологии» представлений как раз и составляет основной предмет настоящей работы.
