Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
25 Р. Нокс, А. Голд
374
Р. ГЛ ПАРМЕНТЕР
представлений A4 и A5, S3 и Z4, Wz и WAy W5 и W7% Ws и Ws*).
Как было подчеркнуто Эллиотом [16], в кристаллах с центром симметрии дополнительные представления в общей точке ft-пространства (не обладающей какой-либо специальной симметрией) всегда двукратно вырождены. В структуре типа цинковой обманки центра симметрии нет, и, соответственно, высказанное утверждение неверно.
Исследуем теперь, заставляют ли условия симметрии обращаться в нуль градиент энергии в данной энергетической зоне (в данном направлении в данной точке fe-пространства). Поскольку названный градиент, V^f(A), пропорционален среднему значению импульса, необходимо исследовать, обращаются лп в нуль матричные элементы оператора (ft//) V, вычисленные с волновыми функциями, принадлежащими неприводимому представлению группы волнового вектора в данной точке. При рассмотрении составляющей градиента вдоль направления, характеризуемого единичным вектором а, нужно найти лишь матричные элементы оператора (ft//)tt-V, представляющие собой интегралы в обычном пространстве**). Подинтегральные выражения в этих интегралах преобразуются друг в друга под действием тех преобразований данной группы волнового вектора, которые либо не изменяют оператора a-V, либо меняют его знак (преобразованию подвергается V, но не н). Такие преобразования образуют группу, которую мы будем называть градиентной группой волнового вектора.
Если бы были известны таблицы характеров градиентных групп, легко было бы определить, обращается ли данный матричный элемент в нуль или нет. Действительно, в этом случае мы могли бы, поступая точно так же, как при построении таблицы XVII, разложить представление, по которому преобразуется подинтегральное выражение (это есть прямое произведение трех представлений, соответствующих двум волновым функциям и оператору «•V), на сумму неприводимых представлений градиентной группы волнового вектора. Далее остается лишь воспользоваться тем, что интеграл обращается в
*) Автор благодарен Г. Дрессельхаузу, который независимо изучал свойства симметрии структур типа цинковой обманки, за указание ошибок в первоначальной трактовке влияния инверсии времени на точки Л и I для двойных групп.
**) В случае, когда учитывается спин, оператор V следует заменить оператором V+ 4^с2 I0 * Последний обладает, однако, теми же трансформационными свойствами, что и V, и нет необходимости отдельно рассматривать его в дальнейшем.
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
375
нуль, если сумма неприводимых представлений не содержит полностью симметричного представления (т. е. представления, все характеры которого равны единице) (см., например, [17])*). Фактически, однако, таблицы характеров градиентных групп волнового вектора уже известны, поскольку каждая градиентная группа волнового вектора изоморфна какой-нибудь группе волнового вектора**).
Наконец, отметим два обстоятельства, которые полезно иметь в виду при изучении энергетических зон. Во-первых, полная совокупность энергетических зон должна обладать полной симметрией зоны Бриллюэна. Во-вторых, любой непрерывной (с непрерывными производными) кривой в ft-пространстве отвечает непрерывная (с непрерывными производными) кривая зависимости собственных значений энергии от вектора ft.
С помощью изложенных выше соображений можно теперь исследовать структуру энергетических зон в окрестности точек симметрии. Рассмотрим сначала простые группы в отсутствие спина. В этом случае свойства симметрии энергетических зон — такие же, как и в решетке типа алмаза, всюду, кроме осей симметрии ShZ. Как и в алмазе, в точке Г наклон в направлении трех осей симметрии А, Л и S равен нулю, в точке L наклон равен нулю в направлении Л, в точке А наклон равен нулю в направлениях (100) и (110), перпендикулярных к данной оси А, а в точке Л наклон в направлениях, перпендикулярных к оси Л, может быть как отличен от нуля, так и равен нулю (для Ai и A2 наклон равен нулю, а для A3 отличен от нуля). Хотя точка 2, как и в алмазе, не вырождена, в отличие от алмаза наклон в ней в направлении (100), перпендикулярном к данной оси 2, отличен от нуля (хотя наклон в направлении (110), перпендикулярном к данной оси 2, равен нулю). Рассмотрим теперь диагонали квадратных граней. В отличие от
*) В некоторых случаях, когда градиент не обязан обращаться в нуль в силу только что изложенных соображений, он все же равен нулю вследствие симметрии относительно инверсии времени.
**) Градиентные группы волнового вектора в точке Г для векторов и, направленных вдоль осей Л, Л и 2, изоморфны, соответственно, группам волновых векторов в точках Ху А и Д. Градиентные группы волнового вектора в точке X для векторов U1 направленных вдоль осей А, 2 и Z, изоморфны, соответственно, группам волновых векторов в X, А и А. Градиентные группы волнового вектора в точке W для векторов и, направленных вдоль Z и вдоль любого из двух направлений (100), перпендикулярных к Z, изоморфны, соответственно, группам волновых векторов в W и 2. Градиентные группы волнового вектора на оси Л для векторов и, направленных вдоль направлений (100) и (ПО) (каждое из которых перпендикулярно к оси А), изоморфны, соответственно, группам волновых векторов в 2 и А Градиентные группы волнового вектора в точках Л, 2 и Z все изоморфны группе волнового век* тора в точке 2.
