Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. В качестве примера более сложного кристалла взят флюорит кальция. Его решетка составлена из трех взаимопроникающих гранецентрированных решеток; решетка ядер кальция «прикреплена» к узлу (0,0,0), одна из решеток фтора, F1), «прикреплена» к узлу а/2(1, 1, 1), и другая, F<2>, — к узлу а/2(1, 1,—1). Потенциал решетки, следовательно, обладает полной симметрией куба относительно ядер кальция, но лишь симметрией тетраэдра относительно ядер фтора. Поэтому около ядер различных типов волновая функция будет, вообще говоря, базисной для неприводимых представлений различных групп.
Во всех прочих точках ft-пространства существует простая и очевидная связь между различными представлениями.
Базисные векторы прямой решетки аг- и обратной решетки Ь$ таковы:
Таким образом, элементарная ячейка решетки есть куб с ребром а, а первая зона Бриллюэна — куб с ребром 2л/а. В табл. Иб указаны типы симметрии для различных точек обратной решетки, когда потенциал обладает полной симметрией куба или полной симметрией тетраэдра.
Простых моноатомных кубических кристаллов в природе не существует. Простейшими оказываются двухатомные кристаллы, построенные из двух взаимопроникающих кубических решеток различных атомов, «прикрепленных» к узлам (0,0,0) и а/2(Iу 1,1). При этом потенциал обладает полной симметрией куба относительно любого ядра. К числу таких кристаллов относятся, например, CsCl и CuZn.
При значениях ft, лежащих на границе первой зоны Бриллюэна, волновая функция около ядер различного типа должна быть базисной для различных представлений. Связь между этими представлениями указана в табл. VI.
Простая кубическая решетка
а, = а(1,0,0); а2 = а(0, 1,0); а3 = а(0,0, 1);
Ьх = 2л/а (1,0,0);
62 = 2л/а(0, 1, 0);
63 = 2л/а(0,0, 1).
23*
Таблица V
* = (0,0,0)
Представление для Ca A3 A1 Ad
Представление для F(1) В$ B1 Bd
Представление для F(2) В? B1 Вц
А
\
\
А,,
АР
В
р
й/
В
S
ВР
В
I
"f
ВР
k = n/a (1,0,0)
Представление для Ca C5 Cg Cd. С, Cd„(\) С>(2) Ch Ср Су Cf Ср,(1) Ср. (2)
Представление для F Нр Hd Hf H5 IIp.(2) Нр.(\) l!f If5 IIp Иrf //„,(2) ИрЛ\)
* = л/2а(1,1, 1)
Представление для Ca D5 D Dd(\) D{(2) f)f /) ^/•(I) l>d'(2)
Представление для F
I
s
1I
У»
І і i>
k^nUi (a, 0,0) Представление для Ca
E
s
E
к
Eu
Представление для F
о
s
°а
°„
О
k = n,2a (1,2, 0) Представление для Ca
F
s
Ff
Fa
F
р
Представление для F(1)
'V
Pp-
рр-
Представление для \:{2)
рр
Pp-
Рр-
Pp-
Ер(\) /:,,(2)
(тГ(°р-°р) (1)'\°р + °р')
Fn-(і) /> (2)
(у)">, h'^> (y)V„-«P,) <Ps-iPp) ( L )"'(/>„ _,/>,)
Таблица VI
A = я/а (1, 1, 1)
Представление для Cs Представление для Cl
Af
A1
A1
Ad Ah
Aa'
AP
Af
A1 A1
Af As
A11 Ad
A1'
аа
Ap A11'
k = л/а (0, 1, 1)
Представление для Cs Представление для Cl
Cs ca
Cd'
cK
cd
Cs
C^(I)
Cd,a2)
Cd„(2)
<V(i)
Ch Cf
cP
cf
cf
cP
C1 C11
Cn-(D <'-,,- (2)
? = л/а (1,0,0) Представление для Cs Представление для CI
Cs
сР
са ch
Cd' Cf
ctl
Cy
Cd„(D Cp- (2)
Ca„{2) Cp-O)
ch cg
Cp Cs
Cy
ctl
Cf Cd'
c„,m
C„„(2)
Cn- (2.
k = л/а (а, 1, 1) Представление для Cs Представление для Cl
^s
Ed
Ed-
Ed' E8
Ed Es
EPW
Ep (2) Ep (2)
k = я/а (1, а, а) Представление для Cs Представление для Cl
Ls V
V
Ls
Ld lp
%
fe = л/а (а, 0, 1)
Представление для Cs Представление для Cl
np
np'
Nd np'
np
k = л/а(1,а, ?)
Представление для Cs Q8 Qp
Представление для Cl Qp Q8
358
Д БЕЛЛ
Объемноцентрированная решетка
Базисные векторы решетки таковы:
0, = 0(1,1,-1); 6, = я/а(1,1,0); а2 = а(1, -1, 1); 62 = я/а(1,0, 1); а3 = а(-1, 1, 1); 63 = я/а(0, 1, 1).
Элементарная ячейка решетки представляет собой усеченный октаэдр, ограниченный плоскостями х, у, z = ±а и ±х ± у ± z = За/2. Первая зона Бриллюэна есть ромбододекаэдр, ограниченный плоскостями ±kx ± ky = я/а, ±ky ± kz = я/а и ±kz ± kx = п/а. Типы симметрии перечислены в табл. Ив.
Чаще всего встречаются моноатомные решетки этого типа, например Na, Cs, Ba. Волновая функция электрона в них должна принадлежать одному и тому же представлению во всем кристалле.
Гексагональная решетка с плотной упаковкой Базисные векторы решетки таковы:
O3 = (0, а/2, V3 я/2); Ь3 = 2я/а (0,0, 2/і/3").
Элементарная ячейка решетки здесь представляет собой шестиугольную призму, ограниченную плоскостями
X = ± с/2, у = ± а/2, у + Y~3z= ± а/2 и ]/~3y + z= ± а/2.
Первая зона Бриллюэна также есть шестиугольная призма, грани которой лежат в плоскостях
kx = ± я/с, kz = ± 2я/а |/3", ky + /~3 kz = ± 4я/а |/~3
Все гексагональные решетки с плотной упаковкой — двухатомные. Они составлены из двух взаимопроникающих решеток, «прикрепленных» к узлам (0,0,0) и (с/2, 0, а/}/3 ). В табл. II г перечислены типы симметрии для различных точек в обратной решетке.
