Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
**) Таблицу характеров можно рассматривать как квадратную матрицу, строки которой соответствуют классам элементов, а столбцы — неприводимым представлениям.
364
P Г. ПАРМЕНТЕР
Таблица I. Характеры представлений простой группы Г
24 Г
г,
г2
г»
Г15 T25
1 E 3 С\ 8 C3 6 JC4 6 JC2
і
-! "
2 2 -1 0 0
3 3
-1 -1
0 0
-I 1
1 -1
Таблица ц. Характеры представлений простой группы A. (Два различных преобразования JC2 связаны с двумя осями второго порядка, перпендикулярными к Д.) A3 и A4 сливаются.
4 Д
Al
Д3 A4
1 E 1 JC2
1 JC2
1 1
1 1
1
-1 -1 1
1 1 1 -1 -1 1 -1 -1
Таблица III. Характеры представлений простой группы Л
6 Л
Л,
A2 A3
1 E
2 C3
3 JC2
1 1 1
1 2 1 -1 1 0
Таблица IV. Характеры представлений простых групп ShZ
2 S
Z
2| S2
1 E
1 JC2
E С2
1 1 1 -1
этом таблица характеров прямого произведения групп сама есть прямое произведение матриц*), представляющих таблицы
*) Прямое произведение (т х т)I-матрицы с элементами ац на (п X «)> матрицу с элементами ?/'/' равно (тп X тп)-матрице с элементами a^?,^/, где і и і' обозначают строку, а / и \' — столбец.
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
Таблица V. Характеры представлений простой группы X
8
А'
X1
X2
*3
*4
*5
1
E
1
і
і
1
2
2
С2
1
1
-1
-1
0
1
Г2 с4||
1
і
і
1
-2
2
/с4||
і
-1
-і
І
0
2
JC2
1
-1
1
-1
0
Таблица VI. Характеры представлений простой группы W. (Два различных преобразования /C4 связаны с осью четвертого порядка, параллельной диагонали грани, проходящей через точку W.) Представления Ws и W4 вырождены в силу симметрии относительно инверсии времени.
4
W
Wx
W,
W3
W<
1
E
1
1
1
1
1
JC4
1
-1
/
1
JC4
1
— і
1
С2
°4
1
1
-1
-1
Таблица VII. Характеры дополнительных представлений двойной группы Г
48
Г
гв
г7
г8
1
E
2
2
4
1
E
-2
-2
-4
6
сі Cl
0
0
0
8
с,
1
1
-1
8
C3
-1
-1
1
6
JC4
V2
-V2
0
6
JC4
-V2
V2
0
12
JC2IJ C2
0
0
0
Р. Г. ПАРМЕНТЕР
Таблица VIII. Характеры дополнительных представлений двойной группы Л
8
д
A5
1
E
2
1
E _
-2
2
JС2* JC2
0
2
JС2t JC2
0
2
Г2 г2
0
Таблица IX. Характеры дополнительных представлений двойной группы Л. Представления Л4 и Л5 вырождены в силу симметрии относительно инверсии времени.
12
Л
Л,
A5
Лв
1
E
1
1
2
1
E
-1
-1
-2
2
C3
-1
-1
1
2
C3
1
і
-1
3
JC2
/
— І
0
3
JC2
— і
І
0
Табляца X. Характеры дополнительных представлений двойных групп ShZ. Представления S3 и S4, Z3 и Z4 вырождены в силу симметрии относительно инверсии времени.
4 2 Z S1 ї<
E
E
1
1
E
E
-1
-1
JC2
С2
С41
/
— І
JC2
Г2
— /
І
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
367
Таблица XI. Характеры дополнительных представлений двойной группы X
1
E
2
2
1
E
-2
-2
4
С2 С2
0
0
2
С2 с2
0
0
2
/C4 и
/2
-VT
2
/с4|| ^
V2
4
УС 2, /с2
0
0
Таблица XII. Характеры дополнительных представлений двойной группы W. Представления W5 и W7, а также W6 и U^8 вырождены в силу симметрии относительно инверсии времени. 8 = (1+/)//2
W
W5
W7
W9
E
1
1
1
1
E
-1
-1
-1
-1
JC4
8
— 8
8*
— Є*
/C4
— е
8
-е*
8*
/C4
Є*
-8*
8
-8
/C4
-8*
8*
— 8
8
І
/
— І
— І
C42
— I
I
І
характеров групп-сомножителей [16]. С помощью таблицы характеров группы G2 (эквивалентной таблице IV) легко получить и таблицы характеров для решетки типа цинковой обманки в точках Г и X, используя соответствующие таблицы характеров для гранецентрированной кубической решетки.
Очевидно, что для каждого из направлений ShZb решетке типа цинковой обманки (без учета спина) группы волновых векторов содержат только по два элемента; соответственно, они изоморфны группе (?- Ясно также, что с учетом спина эти две группы изоморфны циклической группе четвертого порядка. Таким образом, характеры каждой из групп равны соответствую-
368
Р. Г. ПАРМЕНТЕР
щим степеням корня четвертой степени из единицы*). Для точки W (без учета спина) группа волнового вектора также есть циклическая группа четвертого порядка, элементы которой равны различным степеням элемента /C4— произведения инверсии и поворота на угол 90° относительно оси четвертого порядка, параллельной диагонали грани, проходящей через точку W. Аналогично при учете спина группа волнового вектора представляет собой циклическую группу восьмого порядка, так что характеры ее равны соответствующим степеням корня восьмой степени из единицы.
