Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
[JTs] - exp [ik . (E - PRTl)Spq] [Лі
7. Кристаллические гармоники
Мы приводим здесь кристаллические гармоники для полной кубической группы (согласно [6]) и для гексагональной группы с плотной упаковкой. При этом мы ограничиваемся функциями с квантовым числом момента количества движения, не превышающим шести. Функции нормированы на 4л. Для сокращения таблиц направляющие косинусы лг/г, y/r, z/r заменены на х, у и г. Ненормированные функции из той же системы обозначены буквами в скобках [например, в выражении для Ар(х)
342
Д. БЕЛЛ
(/) == л;3 — 3(/7)/5 X3 — Зх/5]. Указывается только по одной из трех трехкратно вырожденных функций, другие получаются циклической перестановкой координат. Для удобства функции ортогонализованы на сфере.
Гармоники, составляющие базисы групп более низкого порядка, выражены через гармоники подходящих групп высшего порядка. Легко явно получить нужные функции. Например, Gp выражается через (1/2)1/2 [Cp'(1) + СР'(2)], но СР'(1) происходит из Ар{у) и Аг(у), a Cp'(2) происходит из Ap(z) и — Af(z)\ поэтому Gp' получается из {112)ш[AJy)+ AJz)] и (l/2)l/2[Ar (у)-- Ar(z)l
Таким образом, кристаллические гармоники, образующие базис представления Gp', в явном виде таковы:
р (3/2)''»!* + *];
/i (175/8)v* [*3 + гЗ-3(р)/5];
h (105/8)?*2 - х2) у - (X2 - y2)z];
hi (43659/128)v* [у5+ z5- 10(/,)/9-3 (p)/7J;
h2 (3465/128),/2 l(z4 + Xі - 622Jt2) у + (*4 + */4 - 6*У)г];
Л3 (Ю 395/32)^ [(г2 - х2) у' - (*2 - у2) z* - (/2)/3].
Дабы облегчить сравнение с таблицами характеров, имеющимися в литературе, мы указываем и обозначения Шенфлиса для различных кристаллографических точечных групп. Порядок перечисления гармоник соответствует принятому в опубликованных таблицах.
Связь между обозначениями, использованными в настоящей работе, и обозначениями, введенными Баукартом, Смолуховским и Вигнером [4], указана в табл. I.
Таблица I. Связь между обозначениями, использованными в настоящей работе, и обозначениями Баукарта, Смолуховского и Вигнера [6]
БСВ
Наст.
работа
БСВ
Наст, работа
БСВ
Наст, габота
Г, R, H
А
W
F
2, S
L
P
В
N
G
M
X
С
А
I
Z
N
и м
D
F
К
D
О
A, T
E
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
343
Кубические симметрии сЛ — группа On
As s 1
g (525/16),/2 [*4 + #4 + 24-3/5] / (693693/32)'/г [х2у222 + (g)/22 - 1/105) Ai і (15015/32)7* [л:4 (у2 - z2) + у' (z2 - х2) + z4 (х2 - у2)]
Ad (двукратное вырождение)
d (5/4)'/2[2л:2-*/2-г2] Ad(\) \ g (735/16)V2[2*4-^4-г4-6(4)/71
« (11011/32)'/г [2*6 - */6 - г6 - 15 (g)/l 1 - 5 (d)/7] d (15/4)'/г [#2-г2] Л/(2) \ g (2205/16)v4^4- г4 -6(4)/7]
(33033/32)'/г [ye - г6 - 15(?г)/11 - 5(4)/7] \d, (трехкратное вырождение) ( d (\b)4*yz
V«
g (2205 '4),/г [х2|/2 - (?/)/7]
її (1486485/128)V2[A:4r,2-6(g)/ll -(4)/21] [ /2 (27027/128)7* [у4 + г4 - 10</2z2/3] Ag (трехкратное вырождение) A (X) J S (315/4)7%2-*2] t/z S \ і (99099/16)72 [x2yz (у2 - z2) - CfVIl] Ai Представления порядка ниже девятого отсутствуют
Af f (\05)l/> xyz
Ah (двукратное вырождение)
Ah(\) h (U55/4)lI>{2x2-y2-z2]xyz Ah(2) h (3465/4)72 [у2-z2] xyz Ay (трехкратное вырождение)
( / (105/4)?2-*2]* г {Х) \ h (10395/16)'/2 [(у2 - z2) х* - (/)/3] Ap (трехкратное вырождение) р З'''х
А n . / (175/4)^-3(,)/5] р ' A1 (43659/64)'/г [*5 - 10 (/)/9 - 3 (р)/7] H2 (3465/64)'/г[у* + г*-6#2z2] х
344
Д. БЕЛЛ
B8 A8 и А/
Bi Ai и Ai
Bd (двукратное вырождение) Ad и Af1
Bp (трехкратное вырождение) Ар и Ad,
Bf (трехкратное вырождение) A^ и Ag
Ъ — группа D4J1
C8 A8 и Ad(\)
Cg Ag(x)
Cd, Ad (2) и A1
Ca Ad, (х)
Cd„ (двукратное вырождение)
I Ag (у)
Сн An (2) и A1
Cp Ар (х)
Cf, А/ и Ан(\)
Cf Аг (X)
Ср, (двукратное вырождение)
' - группа D3J
Ds As и (1/3)? [Ad, (X) + Ad, (у) + Ag (г)]
Dg A1 и (1/3)'* [A, (X) + Ag (у) + Ag (г))
Da (двукратное вырождение) AdO)
m,k[2Ad,(x)-Ad,(y)-Ad,(z)} (\l2)'k[Ag(z)-Ag(y)\ Ad (2)
(1/2)?, (y)-Ad,(z)] (1/6)7' [2Ag (X) -Ag (y) -Ag (Z))
DdV)
Dd (2)
3g - группа Td
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
345
Df A1 и (l/3)v* [Af, (х) + Ay (у) + Аг (г)]
Dp Af и (1/3)'/г [Ap (х) + Ap (у) + Ap (г)]
(двукратное вырождение) -4л (1)
(1 /ф [2АР (X)-A,(у) -Ар (2)1 (М2)^[Аг(г)-АҐ(у)\
Ah (2)
(1 /2)''' [Ap (у) -Ар (г)} (W)'''[2Af, (X)-Аг (у)-A1, (г)]
DD, О)
Dp,(2)
f — группа С4„
— группа
C5 и Cp Cg и Сн Са, и C1 Са и Сг
ЕР (2)
Ep (двукратное вырождение)
МП Са„(2) Ср, (2)
Cd,, (1)
& — группа Djh
Cf 0p Cp-
с*
Cs и Са Са> и Cg
(l/2)'/'rCd„(l)-Cd„(2)] (1/2)? [Cd„(\) + Cd, (2))
Cf и Cn Ср и Cp
(1/2)'!'[Ср,(\) + Ср,(2)\ (1/2)'^[Ср,(1)-С0,(2)]
Cs и С/
Cd и СА
Pp
Cp и Cd
Fp, (двукратное вырождение)
f СИ')
Fp,(l) •
Cd,(2)
Ср,(2)
Fp, (2)
-<V<1)
— группа Did
C3 и С,,
»f
Cx и Cg
"d
C4' и Сл
Hp
Cp и Crf
Hp, (двукратное вырож денне)
