Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Без учета спина волновая функция электрона есть скалярная функция координат, которая всегда переходит сама в себя при повороте на 360°; если же учитывать спин, то волновая функция представляет собой спинор, меняющий знак при указанном
*) Таблица характеров дополнительных представлений AhF, полученная Эллиотом, ошибочна. Исправленная таблица совпадает с таблицей III настоящей работы, т. е. таблицы характеров AhF совпадают для простой кубической, объемноцентрированной кубической, гранецентрированной кубической решеток, решеток типа алмаза и цинковой обманки.
**) Табл. XI работы [7] содержит ошибку. Правильная таблица содержится в работе [6] (табл. VIII).
362
P Г. ПАРМЕНТЕР
повороте (см., например, [9]). Таким образом, если в отсутствие спина кристаллографическая точечная группа содержит п элементов Си то с учетом спина точечная группа _будет содержать 2п элементов, п элементов Ci и п элементов Си определяемых соотношением
C,-?Clf (2)
где E вводится для обозначения какого-нибудь поворота на 360° (? —единичный элемент). Разумеется, действие элементов Ci и Ci на любую точку пространства одинаково. Кристаллографические группы без учета и с учетом спина называются, соответственно, простыми и двойными группами.
Как известно, гамильтониан Я в уравнении Шредингера таков, что операторы Я и Я* описывают эквивалентные физические ситуации, т. е. оператор Я* получается из оператора Я при помощи какого-нибудь унитарного преобразования U,
Я* = U-1HU. (3)
По этой причине из уравнения Шредингера непосредственно следует [10], что любая собственная функция оператора Я, скажем (г, /), вырождена с функцией ?ЛР*(г, — /) (последняя также есть собственная функция Я, отвечающая тому же собственному значению). Без учета спина в гамильтониане ?/= 1. При учете спина U = ау, где су есть у-компонента спинового оператора Паули. Этот результат отражает так называемую симметрию уравнения Шредингера относительно инверсии времени [6, 11, 12], в дополнение к имеющейся кристаллографической симметрии. Из симметрии относительно инверсии времени сразу же вытекает наличие центра инверсии для энергетических зон в fe-пространстве. Поскольку свойства симметрии, связанные с инверсией времени и с пространственной группой, различны, мы рассмотрим влияние симметрии первого типа после того, как будут построены таблицы характеров для пространственной
группы 1%.
В качестве зоны Бриллюэна для решетки типа цинковой обманки возьмем в Л-пространстве ту же фигуру, что и для решетки типа алмаза [7] и гранецентрированной кубической решетки [13], т. е. будем, как обычно, считать, что поверхность зоны Бриллюэна представляет собой усеченный октаэдр. Сама зона Бриллюэна, направления и точки симметрии изображены на рис. 1. Следует подчеркнуть, однако, что можно было бы выбрать и зону Бриллюэна другой формы. Действительно, требованиями симметрии однозначно определяются только направления Z и точки L, лежащие в центрах гексагональных граней. Для пространственной группы Та симметрия точки L не выше,
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
363
чем симметрия направления Л, так что при составлении таблиц характеров мы не будем рассматривать эту точку. Дополнительная симметрия L связана с инверсией времени.
Рассмотрим заданную точечную пространственную группу. Выберем некоторый волновой вектор й, связанный с какой-нибудь точкой симметрии в й-пространстве, и найдем те преобразования точечной группы, связанной с данной пространственной группой, которые переводят вектор к в сумму его самого и какого-нибудь вектора обратной решетки. Эта совокупность преобразований носит название группы волнового вектора к. Для каждого типа точек и направлений симметрии в зоне Бриллюэна будет существовать своя группа волнового вектора. Все группы волновых векторов суть подгруппы точечной группы, связанной с данной пространственной группой. Найдем теперь элементы групп волновых векторов для всех типов симметричных точек в решетке типа цинковой обманки и сравним эти группы с соответствующими группами волновых векторов в гранецентрированной кубической решетке, найденными в работе [13]
(без учета спина) и в работе [6] (с учетом спина). (Будем при этом пользоваться обозначениями [13] для преобразований группы и для направлений и точек симметрии.)
В точке Л группы волновых векторов в решетках типа цинковой обманки и гранецентрированной оказываются одинаковыми, совпадают и таблицы характеров (ср. замечание на стр. 361 относительно соответствующей таблицы работы [6]). В точках Г и X группа волнового вектора гранецентрированной кубической решетки совпадает с прямым произведением соответствующей группы волнового вектора решетки типа цинковой обманки и группы второго порядка С\, включающей единичный элемент E и инверсию /*). Как известно из теории групп, таблицы характеров можно рассматривать как матрицы**); при
Рис. 1. Линии и точки симметрии в зоне Бриллюэна для структуры типа цинковой обманки.
*) Рассмотрим группу Л с элементами а* и группу <%} с элементами bj, где uibj = bjuf. Прямое произведение групп <А и есть группа G == dl X 38 с элементами сц = аф,.
