Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для оси четвертого порядка, Д, без учета спина группа волнового вектора содержит единичный элемент ?, два коммутирующих элемента JC2 (отражения в плоскостях, перпендикулярных к осям второго порядка, которые перпендикулярны к направлению Д) и элемент Сц (поворот на 180° относительно оси А), представляющий собой произведение двух отражений. Таким образом, эту группу можно рассматривать как произведение двух групп второго порядка, (2 2, и таблица характеров получается непосредственно. Группа волнового вектора для направления Д с учетом спина изоморфна группе в точке X без учета спина, и таблицы их характеров эквивалентны.
Таким образом, мы без труда получили таблицы характеров простых и двойных групп для структуры типа цинковой обманки. Характеры представлений простых групп без учета спина приведены в таблицах I—VI. Внимательное рассмотрение наших результатов показывает, что сохраняет силу общее правило [15], согласно которому неприводимые представления простой группы входят без изменения в двойную группу, причем характеры для элементов Ci и Ci совпадают. По этой причине мы не приводим повторно эти представления двойных групп, а ограничиваемся характерами дополнительных представлений, которые даны в таблицах VII—XII. В противоположность другим представлениям, дополнительные представления всегда таковы, что характеры элементов Ci и Ci имеют противоположные знаки. (Так, когда элементы С* и d принадлежат одному классу, соответствующие характеры дополнительных представлений всегда обращаются в нуль.)
*) Циклическая группа порядка п содержит элементы С, С2, С3, ..., Сп = «= Е. Поскольку любые два элемента коммутируют, каждый из них сам по себе образует отдельный класс; л классам соответствуют п представлений, каждое из которых одномерно. Характер одномерного представления совпадает с ним самим, поэтому все характеры должны преобразовываться так же, как и соответствующие элементы группы. Таким образом, все характеры должны быть равны соответствующим степеням корня л-й степени из единицы.
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
369
3. Результаты
Пусть мы совершаем в ft-пространстве непрерывный переход от точки с более высокой симметрией к точке с более низкой симметрией. Интересно посмотреть, как различные неприводимые представления, связанные с начальной точкой, переходят в неприводимые представления, связанные с конечной точкой. Для этого составим так называемые таблицы совместности [13]. Представим характеры представлений в точке с более высокой симметрией в виде суммы соответствующих характеров для точки с более низкой симметрией (это надо сделать одновременно для каждого из групповых элементов, общих для обеих точек). Именно эти «низкосимметричные» представления и комбинируются в точке высокой симметрии, образуя соответствующие ей представления. Условия совместности для простых групп без учета спина приведены в табл. XIII, а условия совместности для двойных групп при учете спина (дополнительные представления) — в табл. XIV.
Физически структуру типа цинковой обманки можно рассматривать как результат деформации либо гранецентрированной
Таблица ХНІ. Условия совместности для представлений простых групп, связывающие точки симметрии и линии симметрии
г
д
Л
2
г,
A1
Л,
S1
г2
A2
A2
S2
Ai+A2
A3
Si+S2
Г,5
Ді + А3 + Д4
Л,+A3
22,+S2
г25
А2 + А3 + Д4
A2+A3
2,+2S2
X
д
Z
X1
Ai
S1
Z1
A2
S2
Zx
X3
А,
2.
Z2
х<
A2
S2
Zt
Хь
Aj+ A4
2, +S2
Z1+Z2
W
Z
W1
Z1
W2
Z1
Z2
W,
Z2
370
Р. Г. ПАРМЕНТЕР
Таблица XIV. Условия совместности для дополнительных представлений двойных групп, связывающие точки симметрии и линии симметрии
г
д
Л
2
гв
д5
A6
23 + 24
г7
23 + 24
г,
2Д5
A4 + A5 + A6
223 + 2S4
X
д
2
Z
X6
23 + 24
Z3 + Z4
X7
A5
23+24
Z3 + Z4
W
Z
Z3
Z3
W7
Z4
Z4
кубической решетки Ол, либо решетки типа алмаза OL Мы можем, следовательно, найти условия совместности второго типа — между группами Т\ и 0\ и между группами ТІ и Он-Эти условия будут показывать, как изменяются различные неприводимые представления для структур 0\ и 0\ при деформации, переводящей их в Td- Табл. XV и XVI получены с помощью техники, описанной в предыдущем разделе. Эти таблицы особенно полезны, если рассматривать какую-либо структуру типа цинковой обманки как возмущенную структуру типа алмаза [3] (например, структуру GaAs считать возмущенной структурой Ge).
Для того чтобы показать, каким образом различные неприводимые представления для структуры типа цинковой обманки, полученные без учета спина, преобразуются при введении спина, нужно получить условия совместности третьего типа. Последние приведены в табл. XVII, из которой видно, что, в соответствии с общим правилом, в нее входят только дополнительные неприводимые представления [6]. Табл. XVII получена следующим образом. Если взять точечную группу и заменить в ней элементы /Cs (поворот на угол 90° относительно оси четвертого порядка с последующей инверсией) и JC2 (поворот на угол 180° вокруг оси второго порядка с последующей инверсией) на элементы C4 и C2, соответственно, то мы получим точечную
