Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения правил отбора составлялось произведение двух неприводимых представлений і и /, принадлежащих различным векторам k и W. Результирующее произведение характеров представлено в виде, отвечающем третьей группе, oft//, волнового вектора fc" — ft + W. Пусть в результате действия элементов группы Gkn на вектор k получается звезда и пусть N(C) есть число точек звезды, инвариантных (или эквивалентных) относительно любых операций симметрии R класса С (из группы Gfc„). Тогда произведение характеров равно N(C) (%i(R)xi(R)). Это есть число N(C)7 умноженное на произведение характеров, усредненное по элементам R класса C1 принадлежащим обеим группам Gk, и Gkti (их характеры можно найти в таблицах неприводимых представлений групп волновых векторов W и k").
Постановка задачи
Междолинное рассеяние электронов и непрямые переходы электронов с потолка валентной зоны на дно зоны проводимости в Ge и Si представляют собой примеры процессов, в которых начальные и конечные состояния принадлежат различным точкам зоны Бриллюэна, причем переходы между этими состояниями вызваны каким-либо взаимодействием (в указанных веществах — электрон-фононным). Правила отбора определяют, равен нулю или кет интеграл вида
правила отбора для матричных элементов
391
Здесь ф? (ft, г) — функция Блоха, принадлежащая Х-й строке /-го неприводимого представления группы Gk волнового вектора ft, и т. д.
Предположим, что в интеграле (1) i|)[(ft, г) есть волновая функция начального электронного состояния, ty™ (ft'7, г) — волновая функция конечного электронного состояния, a i|)?(ft', г) — та часть гамильтониана взаимодействия электронов со светом, фононами и т. д., которая преобразуется как ja-я часть /-го неприводимого представления группы волнового вектора ft'.
Экспериментальные результаты связаны не с отдельным матричным элементом (1), а с вероятностью перехода. Последняя пропорциональна квадрату модуля матричного элемента (1), просуммированному по всем конечным состояниям с одной и той же энергией (т. е. по V и по звезде вектора ft") и усредненному с равными весами по всем начальным состояниям системы. Последнее означает, что с точностью до постоянного множителя надо просуммировать еще по А и по звезде вектора ft. Можно показать, что результат суммирования не зависит от р, и от выбора точки звезды k'. Другими словами, экспериментальные результаты отвечают правилам отбора, связывающим полные представления, а не более жестким правилам, связывающим отдельные элементы представления.
В литературе имеются таблицы характеров для фактор-групп Gk/Tky Gk'\Tw и Gh»lTh». [Здесь Tk есть инвариантная подгруппа чистых трансляций (e\t), таких, что exp(ik-t) = 1.] Обычные методы определения правил отбора, связанные с составлением произведений характеров, зависят от трех волновых функций, преобразующихся по неприводимым представлениям одной и той же группы. Поскольку работать с полной пространственной группой неудобно, Эллиот и Лудон [1] предложили рассматривать группу элементов G8, общих для Gk, Gk' и Gk». Названные авторы полагают, что если подгруппа T8 есть соответствующее пересечение подгрупп Tk, Tk', Tk», то можно применять обычный аппарат теории групп, пользуясь неприводимыми представлениями (вообще говоря) новой фактор-группы GJT8. Эта процедура, будучи корректной, может, однако, потребовать построения новой группы и новой таблицы характеров. Действительно, Эллиот, строя такие таблицы характеров, указывает, что при вычислениях удобнее пользоваться полной таблицей характеров, включая и те, для которых характер элемента (е\Ґ), например, группы Gk, равен размерности представления, умноженной на ехр (traft •*'), причем индекс га не равен единице.
В нашей статье мы покажем, что правила отбора можно получить, пользуясь только существующими таблицами характеров и представлениями, уже найденными в этих таблицах.
392 M ЛЭКС, ДЖ. ДЖ. ХОПФИЛД
Новый метод
Примем без доказательства правило отбора
* + = (2)
вытекающее из условия трансляционной инвариантности. Здесь символ = означает, что две части уравнения (2) либо равны, либо эквивалентны друг другу (т. е. отличаются на вектор обратной решетки).
Стандартный метод определения правил отбора для интеграла (1) состоит из следующих операций. Сначала, пользуясь любыми двумя множителями [скажем, г|^(А, r)^(k\ г7)] как базисом, находят представление произведения Г(*х/). Затем разлагают это представление на неприводимые, дабы выяснить, содержит ли оно Гш. Эта процедура основана на предположении, что индексами г, / и т обозначены представления одной и той же группы. Мы же предпочитаем относить их к трем разным группам
GkITk, GkITk/ Gk-ITk».
В данном случае обычная процедура недостаточна. Дело в следующем: совокупность волновых функций г)-ф?(А\ гО для всех значений К и jli может не охватывать полного представления фактор-группы Gk"ITk» в том смысле, что какой-либо из элементов S этой группы может вывести нас за пределы исходного множества волновых функций. Поэтому надо увеличить число базисных функций, добавив к ним еще функции
