Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Интересующие нас волновые функции системы представляют собой линейные комбинации детерминантов, построенных из од-ноэлектронных 4/-функций. Для редкоземельных ионов характерна связь Рэссела — Саундерса. Поэтому сначала строятся произведения одноэлектронных функций, для которых LhS суть интегралы движения; затем уже из таких произведений образуются собственные функции оператора /. Последние удобно записывать в виде |4/n; LSJJ2), где п — число электронов вне заполненных оболочек. Матричные элементы потенциалов получились бы сразу, если бы мы знали, как выражаются все функции вида |4/'г; LSJJ2) через исходные мультипликативные функции. Обычно, однако, это неизвестно, и вместо того чтобы проделывать утомительную работу, пытаясь получить подобные выражения, выгоднее определить матричные элементы с помощью методов, для которых указанная информация не требуется.
3. Эквивалентные операторы
Используемые ниже методы в значительной мере основаны на том факте, что в пределах пространства функций, отвечающих заданному значению J, существуют простые соотношения между матричными элементами операторов потенциала и
21*
324 К. CTEBEHC
подходящих операторов момента количества движения. Например, ограничиваясь состояниями с / = const, мы имеем
%ху = a[JxJy +JyJx], 2(35г4-30г2г2 + 3г4) =
- ?[35/l - 30/(/ + I)Jl + 25Jl - 6/(J + 1) + 3/2(/ + I)2],
где а и ? — численные множители. В справедливости подобных операторных тождеств можно убедиться, вычисляя матричные элементы потенциалов с помощью коэффициентов Вигнера. Последние даются следующими выражениями [1]:
CJ t . Y (-l)v [(/ +m)! (/-m)l (/'+mpH/'- m')I (/ + Af)! (/- Af)H1/»
v
Здесь, в обозначениях [1], M = m +* m', / = / + /7 — (? = 0, 1, 2, ...). С точностью до множителя а матричный элемент (/, J21 V\ I /, J2) получается из коэффициента Ст,т' при / = /, т = J29 /' = 4, m' = 0 и Я = 4. Действительно, выражение 1^4 можно рассматривать как компоненту вектора в пространстве представления D4 с т' = 0. Этот метод можно использовать для проверки тождеств, коль скоро они уже получены, но он не очень удобен для отыскания их. С точностью до множителя коэффициенты Вигнера дают нам матричные элементы, но ог них не всегда легко перейти к операторам момента количества движения с теми же элементами. Имеется, однако, другой метод, изложенный ниже.
Каждый потенциал преобразуется при поворотах согласно неприводимому представлению группы вращений. Для того чтобы было справедливым операторное тождество, эквивалентный оператор должен преобразовываться точно таким же образом, и задача сводится к разысканию выражения для момента количества движения, обладающего указанным свойством. Это нетрудно сделать, приняв во внимание некоммутативность Jx, Jy и /г.
Например, оба набора (операторных) функций X2-у2, 3z2-r2, ху9 yz9 zx
и
Jl-Jl З/' - J (J +I)9^(JxJу+ JyJX)9 ^(JyJ2+J2Jy)9 у(/А+ JJz)
преобразуются согласно представлению D29 и ясно, что им от-
матричные элементы и эквивалентные операторы 325
вечают одинаковые матрицы преобразования. Поэтому в пределах пространства функций с / = const
х2 — у2 = а (Jl - /2), ху = ¦J a (JJу + JyJx)
и т. д.
Этот прием легко распространить и на случай более сложных выражений. Пусть требуется найти оператор, эквивалентный
X4 — 6х2у2 + у\
Последнее выражение можно записать как
j[(x + iy)4 + (x-iy)4],
и эквивалентный оператор есть
|а[(/,т//,)Ч(/,-//Д
С другой стороны, оператор, эквивалентный функции
35г4 — 3Or2Z2+ Зг4,
не равен
а [354 - 307*/ (/ + 1) + З/2 (/ + I)2],
так как, например, было бы неправильно заменить x2z2 (что входит слагаемым в r2z2) на J2xJ2y Такой член должен быть заменен выражением, составленным из всех возможных различных комбинаций операторов Jy и /г.
Некоторые эквивалентные операторы приведены в табл. 1.
4. Численные множители
Нам осталась лишь задача об отыскании численных множителей. Ее можно решить, используя то обстоятельство, что потенциалы вовсе не зависят от спиновых переменных, так что аналогичные операторные тождества справедливы и в пространстве функций, отвечающих заданному значению L. Выберем подходящую волновую функцию в представлении операторов L9 S9 J9 J1 и преобразуем ее к представлению L, S, Lu S2; искомое соотношение получим, приравнивая средние значения какого-нибудь оператора в двух представлениях. Затем выберем другую волновую функцию в представлении L9 S9 L1, S19 выразим ее через произведения одноэлектронных функций и снова приравняем средние значения. Таким путем можно получить столько соотношений, сколько нужно, чтобы выразить численныз
326
К. CTEBEHC
Операторы, эквивалентные в пространстве функций с заданным J
2(3г2-г2)^а7[3/2-/(/+!)] 2 (35z4-30r2z2+ 3/-4)
^ рй~[35/4 - 30/ (/ + 1) /2 + 25/2 - 6/ (/ + 1) + З/2 (/ + 1 )2] 2 (231 z6 - 315r2z4 + 105r4z2 - 5r6) =
_ Г231/6-315/ (/+ 1)/* + 735/*+ 105/2(/+ 1)2/2-= V [ - 525/ (/ + 1) /2 + 294/2 - 5/3 (/ + I)3 + 40/2(/ + I)2 - 60/ (/ + 1)
Значения а, ? и \ для основных состояний ионов редких земель. Ион Ce+ ++4/'2F5/2 рг+ ++4/2 з//4
