Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
s = -**°-v = 24Q'i— 7 =_4-_?.
р 2520 у 2520 • 11 • 180 21-45-11 г
Остается определить коэффициенты а, Ь, с и т. д. в соотношении (1). Чтобы сделать это, удобно подействовать на обе части (1) оператором 2L«S. Последний коммутирует с /, и в пространстве функций с заданными значениями L, S и / он эквивалентен величине [/(/ + 1) — S(S + 1) — L(L + 1)]. В рассматриваемом случае 2L-S = —30. Отсюда следует, например, что
-3Oa-(L,-б, S2--||-30|{а|5, --§¦)-. b\ -у) + •••} =
= <L, = 5, S, = -||2L.s|{a|5, --§¦) + * 14, ~|)+...}-
= - 25а + КбО Ь.
Таким способом можно получить столько уравнений, сколько нужно для определения чисел а, Ь, с и т. д. Окончательный результат таков:
«-№)'. '-(дг. «-(іг. '-(іг-
330
К. CTEBEHC
Подставляя эти значения, находим
60а = Іьетг4'42Ч64-64-6-|г-І + 4'77+6та].
ИЛИ
26
а =
45-33-7
Таким путем можно выразить матричные элементы Vi в пространстве функций с / = 5/2 для Sm+++ через среднее значение величины г4, вычисленное с помощью радиальной части одно-электронной 4/-функции. Аналогичная процедура, очевидно, при-
Здесь удобно сделать несколько замечаний общего характера. В разобранном примере переход от представления L2, S2 к представлению lz, S2 с помощью соотношения
осуществляется без труда, ибо указанная детерминантная функция— единственная, для которой L2 = 5, S2 = 5I2. Так обстоит дело для основных состояний всех ионов, подчиняющихся правилу Хунда, согласно которому основное состояние отвечает максимальным значениям SnL. При этом волновая функция с наибольшими числами S2 и L2 всегда особенно просто выражается в представлении /2, sz. В тех случаях, когда, как для возбужденных состояний, никакого простого соотношения подобного типа нет, переход от представления операторов L2, S2 к представлению I2, S2 оказывается более трудным; он до некоторой степени аналогичен рассмотренному переходу от J2 к L2, S2. По-видимому, при этом можно использовать оператор SZ1 «Г,, подобно тому как выше был использован оператор L«S.
Мы рассмотрели задачу об определении матричных элементов в пространстве функций, отвечающих одному и тому же значению /. Следующий шаг состоит в вычислении матричных элементов, связывающих различные такие пространства. При этом уже нельзя использовать операторные тождества; обычно удобнее всего пользоваться непосредственно коэффициентами Вигнера. Зависимость матричных элементов от J2 легко находится, после чего вновь остается задача об определении численных множителей.
Пусть, например, нужно вычислить элемент (/, /2|Кб|/ + 2, J2). Рассматривая Кб как компоненту вектора в представлении Dq с т' = 0, мы должны взять коэффициент при |/, J1) в разло-
менима и в случаях Vl и Vq.
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 331
Таблица 4. Значения 231/^ - 315/ (/ + 1) J4Z + 735/* + 105/2 (/ + 1)2/| --525/ (/ + 1) /2 4- 294/2-5/3 (/ + I)3 -г 40/2 (/ + I)2 - 60/ (/ + 1)
J
V2
±Va
±3/2
±5/2
±72
±9/2
±п/2
±J3/2 ±,5/2
0
0
3/2
0
0
0
V2
0
0
0
0
1 260
-5
9
-5
і
9/2
5 040
-8
6
10
-п
3
1V2
7 560
-20
4
25
п
-31
11
,3/2
2 160
-200
-25
185
227
— 11
-319
143
,5/2
13 860
-75
-25
45
87
59
-39
-117 65
/
F
J2=
0
1
2
3
4
5
6 7
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
0
3
180
-20
15
-6
1
4
1 260
-20
1
22
-17
4
5
2 520
-40
-12
36
29
-48
15
6
7 560
-40
-20
22
43
8
-55
22
7
3 780
-200 -
-125
50
197
176
-55
-286 143
8
13 860
-120
-85
2
93
128
65
-78 -169 104
жении Уб|/ + 2, J2). Он равен, с точностью до численного множителя, величине c1j2Ss при /' = 6, т? = 0, / = / + 2, т = J2 и X = 8. Множитель можно найти, как и раньше, вычисляя матричный элемент, связывающий данную пару функций.
Таким образом, нам в принципе удалось свести к радиальному интегрированию задачу о вычислении матричного элемента любого потенциала, преобразующегося как компонента вектора с т' = 0 в пространстве неприводимого представления. Компоненты с т! = 0 часто удобно использовать, но наше рассуждение легко обобщить и на случай потенциалов иного типа. Действительно, зная численный множитель, мы можем найти зависимость от/2 прямо из соответствующего коэффициента Вигнера.Эта зависимость выражается следующим образом. Пусть V0 и V* суть две компоненты вектора в пространстве представления D8. Тогда
при
/==5, m' = 0, / = /', w = /2, A = S + /' — / {J,Jz + k\Vk\J\
332
к. ctebehc
при
/'=-s, m'=»fe, / = /', т = JZ9 A = s+ /' — /,
причем множитель а в обоих соотношениях один и тот же и он зависит от / и /', но не от J2. Следует отметить, что Vh имеет отличные от нуля матричные элементы только для состояний с Al2 = k. Нетрудно установить, образует ли потенциал, скажем, компоненту Vh вектора в представлении D8. Действительно, при этом он должен преобразовываться при вращениях как присоединенный полином Лежандра Pks (8, ср), обладающий тем свойством, что при повороте на угол ф относительно оси Oz он умножается на ехр(/?\р).
