Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
В приведенных в настоящей работе таблицах указаны операторы, эквивалентные некоторым функциям, а также соответствующие матричные элементы. Элементы с заданным значением У имеют общие множители, указанные в столбцах F таблиц. Окончательные значения матричных элементов получаются путем умножения элементов, приведенных в таблицах, на соответствующие множители в столбцах F. Таблица 1 содержит значения множителей, отвечающих потенциалам vi, V°4 и Vt Последние соответствуют основным состояниям всех ионов редких земель.
Литература
1. В. Л. Ван-дер-Варден, Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.
13
Д. БЕЛЛ
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
(Rev. Mod. Phys. 26, 311, 1954)
Рассмотрен метод, позволяющий находить угловые части одноэлектрон-ных волновых функций для произвольных кристаллических решеток. Показано, что волновые функции образуют базисы неприводимых представлений группы вращений Приведены таблицы этих функций, относящихся к случаям кубических решеток и к гексагональной решетке с плотной упаковкой. Обсуждается также вид угловых частей волновых функций в многоатомных кристаллах.
1. Введение
Вопрос о влиянии свойств симметрии кристаллов на волновые функции рассматривался в литературе [1—9]*), и были составлены таблицы [6] функций — кубических гармоник, — преобразующихся подобно элементам полной кубической группы. Расчеты зонной структуры твердых тел в значительной степени упрощаются при использовании этих и других подобных им функций, и стало ясно, что опубликование их окажется весьма полезным для всех, кто участвует в работе такого рода. Приведенные нами функции можно использовать для всех кубических решеток и для гексагональной решетки с плотной упаковкой; кроме того, описан общий метод получения таких функций, который можно применить к любым решеткам.
В качестве введения мы даем систематическое изложение теоретических соображений, относящихся к предмету, большую часть из которых можно найти в разбросанном виде в литературе.
2. Симметрия кристалла
Одноэлектронные волновые функции в кристалле являются решениями уравнения Шредингера
_ <й?Ф = ЗЧ|>, (1)
*) См. также литературу, указанную в [5].
334 Д. БЕЛЛ
где гамильтониан 36 есть функция координат электрона, а S — его энергия.
В идеальном случае бесконечной решетки существует группа трансляций J*, элементы которой определяются уравнением
Г/г = г + It11CL1.
Здесь векторы Ui (i = 1, 2, 3)—базисные векторы — представляют собой три наименьших по модулю вектора, обладающих тем свойством, что при наблюдении из точек г 4- U1 и г решетка выглядит совершенно одинаково. Это означает, что кристаллический потенциал V(r) инвариантен относительно преобразований группы J\ Тройка векторов а* определяет элементарную ячейку кристалла.
Группа J* представляет собой бесконечную абелеву группу, коммутирующую с Ж в уравнении (1), и можно показать, что волновые функции имеют вид
г|5 (ft, г) = exp (Ik - г) и (к, г),
где
T1U(K r) = u(k, г). (2)
Таким образом, необходимо определить волновые функции только в элементарной ячейке, ибо в произвольной точке кристалла их можно найти, используя волновой вектор k.
Если решетка в ft-пространстве (обратная решетка) задана тремя векторами 6,, где аг • 6j = 2лог^, то добавление вектора К = ti^bj к волновому вектору приводит к появлению множителя ехр(//С-г) в волновой функции. Этот множитель обладает периодичностью решетки и поэтому может быть включен в функцию и (ft, г). Итак, трансляционную симметрию решетки можно полностью описать, считая волновые функции многозначными функциями ft, находящихся в элементарной ячейке обратного пространства — в первой зоне Бриллюэна.
Поскольку волновые функции следует рассматривать как функции ft, очевидно, что собственное значение энергии также должно быть функцией волнового вектора, так что уравнение (1) можно записать в виде
[ - \ V2r + V (г)] V (ft, г) - Я? (г) V (ft, г) = ? (ft) * (ft, г). (3)
Для заданных значений ft и ^ (ft) это уравнение имеет в общем случае п линейно независимых вырожденных решений \|)s(ft, г),
5=1,2,----п.
Относительно каждой точки решетки можно определить группу вращений t/f, элементами которой являются повороты на
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
335
угол 2л/я и инверсия (т. е. превращение г в —г), обладающие свойством
RiV {r)-V (г).
В Приложении I показано, что если Rj есть такой элемент группы M9 что
Rfk^k + tt?bi
(здесь считается, что преобразование Rj производится относительно центра первой зоны Бриллюэна), то можно найти неприводимое представление группы этих элементов, составленное из «-мерных матриц [Ju]9 причем
*/[*.<*. ')]-[*.(*. *Г'г)1-[+<<*' г>]Ы <4>
Поэтому, для того чтобы выяснить, какое влияние оказывает на волновые функции симметрия кристаллической решетки относительно вращений, необходимо знать:
а) группу вращений M9 которую следует сопоставить точке, в которой исследуются волновые функции;
б) подгруппу M (к) группы M9 элементы которой оставляют инвариантным волновой вектор к или приводят к изменению его на величину, равную сумме векторов обратной решетки.
