Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Применение теории групп
Для применения теории групп к задаче об электронах в кристаллической решетке разложим волновые функции по полной ортонормированной системе функций, центрированных вблизи атомных ядер элементарной ячейки:
*,(*. г) = 2 2 A8ImYT(Q, V)Si[Z(K)9 г].
I т
Здесь yt—сферическая гармоника, S — функция расстояния г от ядра и A3Im — постоянные коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий. Это разложение можно переписать в следующем виде:
*, (*, 0=2 BsL 2 CsLmYT (B9 ф) Sl [Z (*), г] =
l т
= 2>BsLxsLsL[?(k), г],
L
причем то или иное отдельное значение L может появляться в сумме более одного раза. Линейные комбинации сферических гармоник XaL — кристаллические гармоники — можно полностью определить с помощью теории групп, так как только эти
336
Д. БЕЛЛ
функции могут изменяться при вращениях. Формула (4) дает, таким образом:
(мы опустили для краткости индекс L в обеих частях равенства).
Пусть группа Я(ка) полностью определена, т. е. известны матрицы ["/?], осуществляющие ее т-е неприводимое представление °Гт, и соответствующие им кристаллические гармоники аХ?. Для каждой подгруппы Я(къ) группы Я (K) можно найти такую матрицу M9 что совокупность матриц M~l\aJtsl]M включает набор матриц \bJts], диагональных для каждого элемента Rj подгруппы Я(кь). Другими словами, представления аГш можно привести, получив неприводимые представления ьГп группы 91 (Аь). Кристаллические гармоники, соответствующие неприводимым представлениям &(кь)9 имеют вид [аЛ7]Л1. Используя группу Я(кь)9 можно затем определить и следующую группу Я(кс).
Можно было бы начать и с рассмотрения полной группы вращений, когда функции аХ? представляют собой просто сферические гармоники Однако, имея в виду результаты, отно* сящиеся к кубическим решеткам (см. конец настоящей статьи), мы исходили из полной кубической группы, определенной фон дер Лаге и Бете [6].
4. Определение собственных функций
Используя кристаллические гармоники, соответствующие группе вращений St(K)9 можно найти волновые функции ф, локализованные вблизи каждого из ядер элементарной ячейки кристалла. Выражения для этих функций будут содержать бесконечное число произвольных постоянных BL, которые следует определить из условия гладкости собственной функции везде в кристалле. Для этой цели элементарную ячейку обычно делят на подъячейки, по одной вокруг каждого ядра, и сшивают волновые функции на поверхностях подъячеек [9—16].
При сшивании волновых функций следует иметь в виду, что все они локализованы вблизи различных точек решетки — каждая центрирована относительно своего атомного ядра. В Приложении II показано, что из этого вытекают два важных следствия. Именно, рассмотрим различные ядра в точках Ар и Aq на расстоянии Spq друг от друга. Тогда
а) функция typ должна гладко переходить в exp (ik-Sqp)yq9
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 337
22 Р. Нокс, А. Голд
б) функцию % надо рассматривать совместно с т$9 причем
[Уй] = exp [ik . (E - PRTl)Spq} [/?].
5. Приложение I
Для любой точки прямой решетки можно определить группу вращений Si9 оставляющую решетку инвариантной. В обратном пространстве каждому вектору к также можно сопоставить группу вращений 9>(к). Ее элементы Si представляют собой повороты относительно центра первой зоны Бриллюэна и удовлетворяют условию
Sik = k + niIbj sa к.
Определим 91(к) как подгруппу, состоящую из общих элементов групп 91 и ^(к).
В этом приложении показывается, что можно найти такое неприводимое представление группы 8?(к), составленное из матриц [Jts]9 что
*/ [*. (*.')] - [+. (*. *г'')]=к <*• г>] I'd- w
Здесь Rj — произвольный элемент подгруппы (к).
Действие оператора поворота Rj на функцию /(г) можно определить равенствами
/?//(r) = /(M/r) = [/(s)UAf/r.
Тогда
RkR jf (г) - Rk {/?,/ (г)} = [R ^ Щ=щг =
Если Ri = RkRjy то Mi — MjMkt и будет логично и последовательно положить Mj = Rfl9 так что Rjf (г) = f(Rflr) и, в частности,
Rrt(b, г) = ф(й, RT1 г).
Уравнение Шредингера для типичной одноэлектронной волновой функции имеет вид
[ - J V? + V (ф(*. Г) шт $Є(г)$(к, г) = ?(*)¦(*, г). (3)
Легко показать, что
а) /?;Vr = Vv,
б) A-(RjB) = (RJ1 A)-B (где Л и В — произвольные векторы); следовательно,
338 Д. БЕЛЛ
По определению RjV(r) = V(r). Следовательно, оператор Rj коммутирует с гамильтонианом 2fo(r). Поэтому применение Rj к обеим частям уравнения (3) дает
(г) R7lr) = ? (*)¦(*, RTlr). (За)
При заданных значениях ft и ^(ft) уравнение (3) имеет, вообще говоря, п вырожденных решений
V3(K г) = exp(ik -r)us(k, г) (5=1,2,..., п). Следовательно, уравнение (За) имеет п решений V8(K RJlr) = exp(/ft - RJlr)us(k, RJlr) = exp г) as(*> Я^'г).
Последние, однако, представляют собой волновые функции с волновым вектором Rjk. Следовательно, мы можем определить систему п вырожденных волновых функций
Vt(RjK г) = exp(//?,ft -г)vt(Rfky г) (t = 1, 2, ..п),
также удовлетворяющих уравнению (За). Функции (ft, RJ'г) должны быть их линейными комбинациями; таким образом,
