Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Граничные условия на поверхности ячейки
ГУ на поверхностях ячейки Вигнера — Зейтца фиксированы условием периодичности собственной функции, что, в свою очередь, есть свойство соответствующего ей волнового вектора Трансляция, переводящая точку А на одной из граней в точку ?, лежащую на пересечении перпендикуляра к данной грани с противоположной параллельной ей гранью, есть не что иное, как сдвиг решетки на вектор Т. Хорошо известно [5], что г|э(р + T) = = г|>(р) ехр(/й-Г), так что в общем случае
\рв = г|)Д exp(*'ft. T). (2)
Эти ГУ можно представить в более удобной форме, используя свойства симметрии собственных функций данного типа (содержащиеся в групповой таблице). Мы проделаем это сейчас для КГ.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 309
Таблица II. Классификация кубических гармоник по свойствам симметрии, Все функции нормированы на 4я. Повсеместно опущены множители р-/, т. е., например, вместо jc/p, y/pt z/p пишется просто ху уу г. Квадратные скобки означают, что соответствующие функции берутся без нормировочных
множителей.
Тип а
а0 = 1
5(347)'/2(^^4+г4-5^)
3-7 -11 •(2-13)72 / , , , , 1 , , Л, 1 Л „в--J- (х*У* + 22 Ы Р* Ш5 P8J
5-13(3-11 • 17)''2 w 16 Х
X (*• + f + г» - Ц- [а6] р* - il| [аJ р*-1 pt)
Тип ?
Рз = (3-5-7)'/2*уг
0 11 (3-5-7-13)''2 /,, ,,,, 5 \ ?7--S-_-L_ хуг \х* + у4+ г' —р41
Тип у
(Y2). = 5'Л (г» - Y (*» + У2)); (Yi)» - (** - р») (Y,),= 7(325)'/2(^-2^ + ^-ftV2l.P2) (Y,b- 3,74 5'/j(^ ^-уЫ2Р2)
(Ye).= "«8^")* (2в_|.(^ + ^-^ы.р2-АЫ1Р.)
Тип O *)
(б,Ь = з'/2г
а>.-*^,%(*-?№.ьр«-т^Ч
(6&= 3(5.7...)'/2 + +
•) Для трехкратно вырожденных типов 6 и е две другие функции можно найти Циклической перестановкой координат.___
310
Ф ФОН ДЕР ЛАГЕ, Г. А. БЕТЕ
Продолжение таблицы //
Тип є
(е2Ь = (3-5)1/2^
, . 3.7.51''2
(Є4)г =-і
ху
('-I'-)
, . з. п (2.3.5.7.13)'/з
Ыг =-[ё-ХУ
(0.-(2-8-7-у-18)'ЧУ(х«+У«-|.(^+^)
Гии а'
^,(6-6-7- Il -ІЗ- 17-\V\yz(xA(lf_z2) + l/{zi_x>Hzi{xi_tf))
Тип ?'
\ = g 10 (*4 (У2 - г2) + ^ (г2 - *2) + z< (*2 - 02) )
Гип у'
(Ys)1 - (3 - 5 - 7 - 11 )'/2 хуг (z* -± (*» + j.
(^¦|3(3-5;7'||)%х
X (г* - -g- (*« + - (*2 - у (*2 + У2)) P2)
/а 3- 13(5-7. 11),/г / . 4 10 , 2 2Ч Л (Y7J2 =--— хуг ух* - у4 - -yj (*2 - #2) P2J
Тип 6'
/А/ч 3 (5-7)72 , 2 2,
К)г-3-"('Г3)'/г^^-^)(^-^р2)
Тип є'
/ч _ (3-5-7)72
(«Oa-
Z (Xі - t?)
/ /ч 3(3-5-7 - 11)'" i3 I ,\ . 2
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
311
Ячейка Вигнера—Зейтца для объемноцентрированной кубической решетки изображена на рис. 1. Ее поверхность состоит из двух совокупностей неэквивалентных граней: шести квадратных граней, лежащих в плоскостях х = ±ау у = ±а, г = ±а, и восьми гексагональных граней, нормали к которым суть векторы (±а/2, ±а/2, ±а/2). Трансляции (0,0,2а), (0,2а, 0) и (2а, 0,0) связывают пары квадратных граней, а трансляции (±а, ±а, а) — гексагональные грани. Для волновых векторов (0,0,0) и (0,0, я/а) (которым соответствуют найденные нами КГ) условия периодичности особенно просты. В соответствии с соотношением (2) эти условия имеют вид:
для к = (0, 0, 0) собственные функции периодичны
с периодами, соответствующими ^ * всем парам параллельных граней
ячейки;
для к —(O1 0, л/а) собственные функции периодичны ]
с периодом, соответствующим па- > (36) рам квадратных граней ячейки; J
собственные функции антиперио- | дичны с периодом, соответствую- * (Зв) щим парам гексагональных граней. J
(Под «антипериодическими» мы понимаем здесь функции, которые при смещении на указанный «период» меняют только знак.) Соответственно, функции в точке к = (0, 0, 0) мы называем здесь периодическими, а функции в точке k = (0, 0, я/а) — антипериодическими.
В качестве примера получим рабочую форму ГУ для антипериодической функции типа б с выделенной осью г. Рассмотрим отдельно неэквивалентные пары граней. Для квадратных граней Z= ±а условия периодичности (За) и свойства симметрии относительно преобразования х, у, —z (табл. I) дают последовательно
У> °) = У> —а) = (х, у', а).
Таким образом, собственная функция должна обращаться в нуль на этой грани. Для квадратных граней х = ±а (или у = ±а) условия периодичности и свойства симметрии относительно преобразования —X9 у, z дают
г|> (а + е, у, z) = ф (—а + є, у, z) = г|) (а — є, у, z).
Таким образом, на этих гранях обращается в нуль нормальная производная д\р(а9 у, г)/дх. Для гексагональных граней,
312
Ф ФОН ДЕР ЛАГЕ, Г. А БЕТЕ
± X ± у + z = ±За/2, условие антипериодичности и преобразование —у, —X1 —z дают
^p(X1 у, z) =— ф(х — а, у —а, г — а) = +г|)(а — у, a —X1 a — z).
Соответственно, рассматриваемая функция симметрична относительно линии ? = 0 (рис. 1). Аналогично, нормальная производная антисимметрична относительно той же линии.
В табл. III приведены рабочие формы ГУ, полученные аналогичным способом для всех типов функций; при этом ГУ явно указаны для той из функций данного типа, для которой выделена ось z.
