Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для симметричной собственной функции точные граничные условия на гексагональных гранях можно представить в виде:
для всех т 2 AnS1(E1 р)РПт(г, I) = O,
для всех п
(Для антисимметричной функции ф в условиях (7) нужно поме-
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
315
нять местами числа т и п.) Поскольку ГУ нужно удовлетворить с помощью конечного числа коэффициентов Ац, сделано следующее предположение (разумеется, справедливое лишь приближенно): радиус rs окружности, получающейся при пересечении сферы, объем которой равен объему ячейки с гексагональной гранью, представляет собой хороший «средний» радиус, и условиями (7), накладываемыми на высшие гармоники в разложении (6), можно пренебречь. Фактически расчет проводился (с учетом экспериментально определенной величины постоянной решетки, рис. 1) следующим образом. Выбиралось разумное значение энергии ? и с помощью должного числа ГУ с наименьшими значениями тип определялись постоянные коэффициенты Ац. Далее выбор величины E проверялся с помощью ГУ на квадратной грани, а затем процедура повторялась, пока не появлялось самосогласованное значение энергии Е.
В целях проверки нашего метода для каждого из полученных решений была использована ППР. В предельном случае бесконечно малого потенциала V радиальные функции S/ выражаются через функции Бесселя Ji+i/2(Ky р)/р'. Пользуясь ими, можно описанным выше путем удовлетворить ГУ и получить собственные значения Е\ последние затем сравнивались с известными точными собственными значениями К2 (здесь К есть волновой вектор «свободного электрона», зависящий ог приведенного волнового вектора к и номера зоны Бриллюэна). Результаты сравнения приведены в табл. IV.
Таблица IV. Ошибка в процентах при определении собственных значений
для пустой решетки и собственные значения энергии для натрия (соответствую цие низшим уровням в точках й = (0,0,0) и k = (0, 0, я/а)). Расчет состояний типов а и б в точке Л —(0,0, я/а) выполнен авторами, остальные данные взяты из работы Бауэрса [8].
Тин
Число членов, использованных в разло-
k
к
E
для нагрия в ридбергах
ппр,
ошибка в определении E
жении
собственной
функции
а Y
O
а
3 3 4 3 3 4 2
0, 0, О, 0,
о, о, о,
о, о, о, о, о, о. о,
о
я/а п'а л/а
0
о о
я/а
я/а
я Ia
2я/а
2я/а
2я/а
0
-0,608
-0,036
-0,0135
+0,0935
+0,525
+ 0,563
+ 0,600
0,16% 0,07% 0,26% 0,8 % 0,6 % 1,0 %
316
Ф. ФОН ДЕР ЛАГЕ, Г. А БЕТЕ
Обсуждение метода
В табл. IV указаны ошибки в определении собственных значений энергии для «пустой решетки» в точках ft = (0,0,0) и к = (0,0,тс/а). Ошибки даны в процентах по отношению к истинным значениям энергии для низколежащих уровней (за исключением основного состояния, для которого проверка бессмысленна, ибо функция t|? = const есть точное решение). В таблице указано также число членов, оставленных в разложении каждой из собственных функций данного типа. Мы произвольно ограничились рассмотрением только кубических гармоник, порядок которых / не превышал шести.
Результаты проверки с помощью «пустой решетки» оказались чрезвычайно отрадными. У верхнего края первой зоны Бриллюэна (к = (0, 0, л/а)) ошибка в определении энергии составляет четверть процента или меньше, тогда как ошибка в методе Слэтера достигала 40% (см. рис. 2 из работы [4]). Даже у верхнего края второй зоны ошибка не превышает 1 % (против 35% в методе Слэтера). Это улучшение получено, несмотря на то, что в каждом случае мы брали лишь от двух до четырех членов разложения, тогда как Шокли при проверке метода Слэтера оставлял 8 членов. Даже принимая во внимания большую сложность кубических гармоник по сравнению с полиномами Лежандра и необходимость удовлетворять ГУ «в среднем» по сравнению с ГУ в точке в методе Слэтера, наш метод представляется в целом не более трудоемким, чем метод Слэтера. Фактически мы могли бы без излишне большого труда оставить и заметно больше членов разложения. Тем самым появляется возможность применения развитого метода для расчета более высоких зон Бриллюэна.
Поскольку для «пустой решетки» ошибка в определении собственных значений не превосходит одного процента, представляется вероятным, что точность метода для реальных кубических решеток будет ограничена лишь точностью, с которой задан потенциал V. Можно думать, следовательно, что по крайней мере для рассмотренных выше волновых векторов наш метод одно-электронного приближения в применении к кубическим кристаллам «работает» не хуже, чем известные методы расчета атомной структуры.
Возможности метода не ограничены исследованием одноэлек-тронных состояний в точках ft =(0,0,0) и ft = (0,0, я/а). По-видимому, не представляет труда получить и энергетический спектр для других точек симметрии в ft-пространстве, используя те же радиальные функции. Для этого нужно лишь построить
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 317
гармоники, соответствующие новым неприводимым представлениям, и применить более общие граничные условия периодичности, совместные с новыми волновыми векторами. После того как проведен расчет спектров для ряда точек симметрии, можно путем интерполяции построить энергетические поверхности, руководствуясь условиями совместности [5]. Поведение собственных значений в окрестности точек симметрии можно исследовать методами теории возмущений, используя полученные выше собственные функции; это и было проделано Бауэрсом [8].