Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
[*.(*. */"'')]•')]['*]•
Но Rjk = К следовательно, можно найти набор таких матриц Utsl что
*,[*,(*. '>] = [*,(*, RJlr)\ - [¦,(*. г)][/„]. (4)
Эти матрицы даюг представление группы 3l(k). В справедливости сказанного можно убедиться, составляя произведение любых двух элементов:
Я/[+,] = Ы Uusl
RkR1 Ш = Rk Ш U us}) = {Rk Ы> U us) = = Ш [KtJ} [/ J = Ш [IKtu] U ,Л
Если R1 = то
Ri Ш = M [^L гае [L,J = [/CJ [/„,].
Таким образом, рассматриваемые матрицы подчиняются тем же правилам умножения, что и элементы группы 91 (ft), и потому образуют представление названной группы.
Матрица с одной строкой \VAK г)] сама по себе составляет базис представления группы 52 (ft).
TFOPHH ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
339
Само n-мерное представление Г, образованное матрицами [/ь], может уже оказаться неприводимым. В общем случае, однако, его можно привести и получить ряд неприводимых представлений Гт группы т. е. можно найти такую матрицу Q, что для всех элементов Rj группы 3l(k)
Q-дааг.Ш [#]...}.
Матрица \tu\ входящая в неприводимое представление Гт, может появляться в этом выражении больше одного раза, скажем, ст раз. Тогда Г можно записать как прямую сумму
Г = стГт.
Равенство (4) можно представить в виде
Ri [+Л*, г)] Q = [ф, (*, г)] QQ~l [/,J Q,
а матрицу [tps(A, r)]Q можно разбить на несколько матриц
[г|)^(й, г)], число членов в каждой из которых равно размерности представления Гт. Таким образом, для каждого неприводимого представления получается соотношение
*,[*Г(М-[*Г(*. гШ1
Это соотношение справедливо для всех элементов Rj группы 9l(k). При этом (*• г)] будет базисом представления Гт.
6. Приложение II
Можно построить волновые функции, центрированные около каждого из атомных ядер решетки. Собственная функция, однако, должна быть гладкой всюду в кристалле. Следовательно, надо рассмотреть соотношения между индивидуальными атомными функциями, которые обеспечивали бы выполнение этого условия. В настоящем приложении показано, что поставленное условие удовлетворяется, если
а) функция г|?р непрерывно переходит в exp(/fc-Spq)tyq\
б) функция рассматривается совместно с Здесь 4>р — волновая функция, центрированная около ядра, находящегося в точке Ар, SP(?-—BeKTop, идущий от /7-го ядра к 9-му, и
[/S] = exp {ik . (E - PRTl)Spq} [/?,].
а) Собственная функция, центрированная относительно начала координат О, есть
ф (k. г) = exp (ik • г) и (k, г).
22*
340 Д. БЕЛЛ
Рассмотрим различные ядра, расположенные в точках Ар. Пусть каждое из них окружено подъячейкой и пусть rpq есть произвольная точка на границе между /7-й и q-іл подъячейками. Вектор Spq = OAg — OAPi вообще говоря, не будет одним из векторов решетки. Волновую функцию, центрированную около точки Ap9 можно записать в виде
% (k9 г) = exp [ik . (г - ОАр)1 vp (ft, г - 0АР).
Можно определить константу P таким образом, чтобы внутри /7-й подъячейки выполнялось равенство
ot(A, r) = P^p(k9 г)9
т. е.
и (k9 г) = P ехр [ - / (ft . ОАр)] vp (k9 г - ОАр).
Без потери общности можно взять P = ехр (ik-ОАр)9 так что в /7-й подъячейке будем иметь u(k9 г) = vp (k, г — ОАр). Отсюда следует условие
vp (ft, rpq - OAp) = vq (k9 rpq - OAq).
Это означает, что функция tyP(k9r) должна быть непрерывно сшита с ехр (ik •Sp9)^ (ft, г).
Вообще говоря, в определении константы P имеется некоторый произвол. Очевидно, однако, что принятый нами способ дает наиболее элегантную формулировку искомого условия гладкости. Для одноатомного кристалла вектор Spq есть один из основных векторов решетки, так что
Vp (ft, rpq - OAp) = Vp (k9 г - OAq)9
и условие непрерывного перехода функции t|)p(A, г) в ехр (/ft -Spq)^q(k9 г) не содержит уже никакого произвола.
б) Рассмотрим некоторый элемент Rj группы преобразований, допустимых относительно обеих точек Ap и Ag. Будем записывать его как pRj или qRj в зависимости от того, совершается ли преобразование относительно той или другой точки. Нетрудно доказать, что если E есть тождественное преобразование, то
{qRf — pRj} г = {E - pRj}Spq.
Здесь вектор г отсчитывается от произвольного начала координат О.
Действительно, пусть
ТЕОРИЯ ГРУПП И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 341
Тогда
qRjr = + Spq = pRfr — pRjSpq + Spq
и
{qRj — pRj} Г = {E — p/?/} Sp,.
Решетка не меняется под действием оператора, стоящего в левой части этого равенства, поэтому в правой части может стоять только оператор трансляции на некоторую сумму векторов решетки.
Если t|?s(fe, г) есть функция, построенная относительно точки О, то
tys(k, г) = exp(/ft • г)U8(Il9 г),
Л+.<*'r) = exp(/ft ¦ pR7lr)us(k> Л"'г);
следовательно,
г) = ехр(А . qRJlr)us(k, QRJlr) =
= exp [ik . (? - р/?7!) Spq) р/?Д (ft, Л Однако в Приложении I было показано, что ра/[+.(*. r)] = [^(ft, r)][P/,J.
Таким образом,
- (ft, г)] exp {/ft - (? - pA/"1) Sp,} [pJtsh
отсюда
Ш = ехР (* • & - р^Г1) Sp,} [P/,J. Итак, если волновая функция, центрированная около точки Ару дает базис представления Гл, то она же, будучи центрирована около Aq9 должна быть базисной для представления Гт. При этом
