Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ф. ФОН ДЕР ЛАГЕ. Г А БЕТЕ
Полезно знать тип КГ и число наборов данного типа, которые можно построить для любого заданного числа /. Соответствующий расчет был выполнен одним из авторов [6]; результаты состоят в следующем: при I = 0 имеется лишь один набор типа а; при / = 1 —лишь один набор типа б; при I = 2 — по одному набору типов у и є; при / = 3 — по одному набору типов ?, б, е; при / = 4 — по одному набору типов а, у» ?> б'; при / = 5— по одному набору типов у', е' и два —типа б; при 1 = 6 — по одному набору типов а, y» ?'> 6' и Два — типа е-
Построение групповой таблицы
Поведение каждого типа КГ при преобразовании группы симметрии кристалла показано (для одной из функций каждого данного набора) в табл. I. Последняя получена путем рассмотрения СГ низших порядков с указанными выше результатами в качестве ориентира. При / = 0 имеется лишь один невырожденный тип а и лишь одна СГ, сферически симметричная и инвариантная относительно всех преобразований. Поведение функций этого типа показано в столбце 4. При / = 1 имеется трехкратно вырожденный тип б. Соответствующие три СГ суть х/р, УІр> z/p. Последняя из них преобразуется в соответствии со столбцом 10 и либо переходит в одну из двух других СГ, либо остается неизменной. При / = 2 имеются двукратно вырожденный тип y и трехкратно вырожденный тип е; СГ имеют вид
[г2 - ~ (х2 + y2)\jp2\ (у2-х2)/р2\ zx/p2, zy/p2 и ху/р2.
Поведение первой из них показано в столбце 8. В тех случаях, когда эта СГ изменяется при преобразованиях симметрии, она всегда переходит в линейную комбинацию, составленную из нее самой и второй из перечисленных выше СГ. Эти две СГ, таким образом, вырождены, и их можно отождествить с типом y- Поведение функции ху/р2 показано в столбце 12; последние три СГ из указанного ряда вырождены, и они отождествляются с типом е. При / = 3, наряду с другими типами, встречается невырожденный тип ?. С другой стороны, среди СГ с / = 3 имеется функция xyz/p3. Она, очевидно, удовлетворяет требованиям, предъявляемым к невырожденным функциям; ее поведение отражено в столбце 6. Легко получить и оставшуюся часть таблицы, описывающую поведение функций типов а', ?', у'» 6' и є'- Надо лишь заметить, что при чистых вращениях эти функции ведут себя так же, как и функции соответствующих нештрихованныч типов, а при отражениях дополнительно меняют знак.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 307
Построение характеристических многочленов
Для построения XM воспользуемся тем, что любая степень р инвариантна относительно всех преобразований кубической группы. Таким образом, функции типа 6 образуют не только СГ х/р, у!р, z/p, но и многочлены первой степени х, у, z или третьей степени хр2, (/р2, zp2. Таким образом, для наших целей все наборы, отличающиеся только степенью р, можно считать «тождественными».
Проблема построения XM состоит в отыскании линейных комбинаций членов вида xPy<*zr (I = р + q H- г); названные комбинации должны быть линейно независимы от других выбранных многочленов той же степени или от тождественных им многочленов низшей степени, а также должны преобразовываться в соответствии с требованиями, накладываемыми на данный тип (табл. I). При решении указанной задачи удобно воспользоваться результатами работы [6], помогающими найти нужные типы функций.
В качестве примера наметим кратко процедуру получения XM четвертой степени, считая, что XM низших степеней уже известны. Данной степени соответствует по одному набору типов а, у» е и 6'. В них входит всего девять линейно независимых функций, которые нужно составить из пятнадцати линейно независимых многочленов: трех — вида Jt4, шести — вида хуъ, трех — вида x2yz и трех — вида х2у2. Однако 15 этих многочленов эффективно сводятся к девяти, поскольку шесть многочленов четвертой степени получаются при умножении тождественных им многочленов низших степеней на степени р2, а именно:
тип a, P1: р4,
тип у, P2: Р2(х2-у2), р2(У2-г2), тип е, P3: р2л:г/, p2yz, P2Zx. С помощью табл I находим: многочлены типа а P4: Xі + уА + z4,
р5: х2у2 + y2z2 + Z2X2 — не новый, он сводится к линейной комбинации Y (Pi —- Pa) >
многочлены типа Y P6: х*-уАу „AS,
n , „• оч о /„2—Z2) X2 — эти многочлены — не новые, а P7: (x2 — y2)z2, (у? — *>
сводятся к P2-P4;
многочлены типа г
P8: XIjZ2, yzx2, zxy2'
308
Ф. ФОН ДЕР ЛАГЕ, Г А. БЕТЕ
P9: х3у + ху3, Ij3z + yz3y z3x + zx3 — не новые, сводятся к
многочлены типа 6' P\q: х3у — ху3, y3z — yz3, z3x — zx3.
Таким образом, мы исчерпали все возможные линейно независимые многочлены четвертой степени. Три четвертые степени х, у и z соответствуют трем функциям P4 и Ре, шесть комбинаций вида х3у входят в P9 и Pw, три произведения вида x2yz — в P8 и три — вида х2у2 — в P5 и P7.
Построение кубических гармоник из характеристических многочленов
Разделив XM степени / на pz, мы получим функции, зависящие только от углов. Эти функции, Fis, обладают требуемыми свойствами симметрии типа s, но не удовлетворяют дифференциальному уравнению Лежандра с данным /. Из способа их построения видно, однако, что они представляют собой линейные комбинации СГ порядка I и низших порядков. Чтобы исключить гармоники низших порядков, можно просто ортогонализовать функции Fis ко всем СГ, порядок которых ниже L При этом в силу ортогональности функций, преобразующихся по различным неприводимым представлениям, достаточно ортогонализовать Fis только к СГ типа 5 (порядка ниже I). Это можно сделать, разлагая функции F^ по КГ того же самого типа и порядка не выше /; при этом обычным путем получаются КГ, Kis-Один из авторов (Бете, 1935, не опубликовано) получил все КГ вплоть до I = 6; его результаты приведены в табл. II.
