Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица III. Граничные условия, накладываемые на функцию ф и на ее нормальную производную на гранях ячейки Вигнера — Зейтца. В случаях функций вырожденных типов граничные условия приведены для той из них, для которой выделена ось г. Символы 0, а и s отвечают функции, обращающейся в нуль на поверхности, антисимметричной и симметричной функциям.
Тип
Квадратные грани. Периодические или антипериодические функции
Гексагональные грани. Симметрия относительно оси
X =
±а
Периодические
Антипериодиче-
(или у
= ±а)
Z =
±а
функции
ские функции
ф
дф
ф
дф дх\
ф
дф
dl
ф
дф dl
а
0
0
S
а
а
S
?
0
0
а
S
S
а
Y
0
0
S
а
а
S
o
0
0
а
S
S
а
є
0
0
S
а
а
S
а'
0
0
S
а
а
S
?'
0
0
а
S
S
а
Y' o'
0
0
S
а
а
S
0
0
а
S
S
а
є'
0
0
S
а
а
S
Удовлетворение граничным условиям. Проверка с помощью модели «пустой решетки»
Возможные собственные функции (1), выраженные через кубические гармоники, принимают вид
Ъ-ЯАпКмЫЕ, р). (4)
it
Здесь сумма по / берется по всем значениям, включающим тип 5, а сумма по / — по кратным наборам данного типа (таковые мо-
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 313
гут появиться при больших значениях /). Поскольку кубические гармоники обладают всеми свойствами симметрии, вытекающими из симметрии решетки, выражение (4) уже удовлетворяет требуемым ГУ во многих точках поверхности ячейки. Остается лишь удовлетворить остающимся ГУ, накладываемым свойством периодичности решетки и приведенным в табл. III.
Радиальные волновые функции Ri зависят от конкретного вида потенциала V в уравнении Шредингера и, вообще говоря, могут быть получены лишь путем численного интегрирования (см. следующий раздел). Очевидно, коэффициенты Ац также будут зависеть от конкретного характера задачи, и их нельзя получить аналитически. Желая ограничить трудоемкость задачи разумными пределами, мы должны оставить лишь конечное число членов в разложении (4). Практически использовалось не более четырех членов; тогда можно определить три *) постоянных коэффициента Аи и собственное значение Е. Это позволяет удовлетворить ГУ максимум в четырех**) различных (т. е. неэквивалентных) точках, не считая точек, в которых ГУ удовлетворяются автоматически в силу симметрии КГ. Собственные значения, полученные таким путем при различном выборе наборов точек, для «пустой решетки» отличались от истинных***) на 10—100%. Стало очевидным, что нужно развить какой-то метод, позволяющий лучше удовлетворить ГУ «в среднем». Этот метод и описывается ниже.
*) Четвертый коэффициент определяется из условия нормировки. **) В большинстве точек на гексагональных гранях ГУ накладываются как на функцию \|>, так и на ее нормальную производную. Соответственно, при рассмотрении и таких точек общее число точек, в которых можно удовлетворить ГУ, уменьшается.
***)Не лишне отметить, что, накладывая ГУ в центрах гексагональных граней (по Слэтеру), мы получали особенно плохие результаты. Это и понятно, поскольку центральная точка лежит, в среднем, гораздо ближе к началу координат, чем точка общего вида; далее, из-за высокой симметрии центра грани мы имеем здесь дело с вырожденными ГУ.
Рис. 1. Симметричная ячейка объемноцентрированной кубической решетки. Величина а выражена в боровских радиусах. Постоянная решетки, 2а, для натрия составляет 8,138. Окружность на гексагональной грани образована пересечением названной грани со сферой, объем которой равен объему ячейки. Мы требуем приближенного выполнения граничных условий именно на этой окружности.
314
Ф ФОН ДЕР ЛАГЕ Г A BETE
Для упрощения расчетов перепишем разложение (4) в форме, которая, как правило, более удобна. Для этой цели введем многочлены, связанные с кубическими гармониками соотношениями
Pu = P1Ku. Тогда разложение (4) принимает вид
V=IiAnPu(x1 ij1 z)S1(E1 р), (5)
и
где
S1 = AzP-'. (5а)
Функции Si можно получить численным интегрированием. Для того чтобы удовлетворить ГУ в выбранных точках квадратной грани, используем либо непосредственно разложение в виде (5), либо его нормальную производную (фактически ГУ удовлетворялись в лучшем случае в одной, центральной точке квадратной грани).
На гексагональных гранях мы хотим удовлетворить ГУ «в среднем». Для этого нужно использовать более сложный метод. Именно, перейдем в разложении (5) к цилиндрическим координатам г, а, I (ось а = 0 совпадает с положительным направлением оси т] на рис. 1, а ось g нормальна к плоскости грани). Разложим затем каждый многочлен в ряд Фурье по а; коэффициенты разложения Pu будут однородными многочленами степени / по g и г. В результате получаем
V = 2 AuS1 (E1 р) 2 Pип cos па + 2 AnS1 2 Pltm sin ma. (6)
it п um
В зависимости от типа функций суммирование проводится здесь либо по четным положительным числам п (включая нуль) и нечетным положительным т, либо наоборот. В любом случае первая сумма в выражении (6) симметрична, а вторая — антисимметрична относительно оси a = 0. Соответственно, можно говорить о четной (г|>+) и нечетной (г|?_) частях функции гр. ГУ на гексагональных гранях выполняются точно, если функция ф+ (или V-) и нормальная производная функции ф_ (или г|5+) обращаются в нуль на гексагональных гранях в соответствии с условием симметрии или антисимметрии ф (табл. III).
