Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следующим являются одномерные пространства, базис каждого одномерного
пространства
состоит из одного вектора ех. Ясно, что указанное одномерное
подпространство представляет собой множество
векторов вида аех, где а-произвольное число. Множество
аег по аналогии с обычным пространством называют прямой в линейном
пространстве R п-измерений.
Совершенно так же двумерное подпространство с базисными векторами ех и
е2, представляющие собой множество векторов вида ахех-{-а2е2 (где ах и а2
- произвольные числа), можно назвать плоскостью в R. Если п > 3, то по
аналогии можно построить трехмерное подпространство (гиперплоскость) ахех
+ а2е2 + а3е3.
§ 3. Евклидово* пространство
Ранее мы уже отмечали, что рассматривавшиеся до сих пор линейные или
аффинные пространства беднее по своим геометрическим свойствам, чем
обычное евклидово пространство. Это объясняется тем, что в них не
определены метрические понятия-длина вектора, угол между двумя векторами,
площадь фигуры и т. п.
167
Для того чтобы превратить двумерное аффинное пространство в евклидово,
нужно, очевидно, резиновую пленку натянуть на жесткий каркас, так чтобы
ее более нельзя было подвергнуть такому растяжению или сжатию. Все
геометрические свойства фигур, расположенные на такой "затвердевшей"
пленке, будут уже относиться к евклидовой геометрии: они будут
сохраняться только при вращении плоскости как целого (ортогональное
преобразование). На такой "затвердевшей" плоскости метрические понятия
принимают однозначный смысл.
Итак, чтобы линейное пространство превратилось в евклидово, нужно
сформулировать еще ряд дополнительных аксиом, из которых как следствия
будут вытекать все метрические свойства пространства. Ясно, что эти
аксиомы можно выбрать различными эквивалентными способами.
Но, оказывается, наиболее удобным для наших целей является введение
определения (аксиомы) скалярного произведения векторов.
Линейное пространство R называется евклидовым,
если каждой паре векторов х, у из R поставлено в соответствие
действительное число, называемое скалярным
произведением (х, у), которое обладает следующими свойствами :
1) (х> У) - (У> х) - (коммутативность),
2) (^х, у) - %(х, у)-(X-действительное число),
3) (хг + хг, у) = (х1г у) + (хг, у) - (дистрибутивность).
4) Скалярный квадрат произвольного вектора (х, х)
является положительной величиной, только (0, 0) = 0.
В полученном таким образом евклидовом пространстве легко определяются и
другие метрические свойства.
Длиной вектора х называют корень из его скалярного квадрата
Углом между векторами х и у называют число ср, определяемое формулой:
(1)
Ф = arccos
а у)
(2)
168
Ясно, что определения (1) и (2) распространяют свойства скалярного
произведения в обычном пространстве на произвольные евклидовы
пространства.
В частности, два вектора х и у называются optno-
-> ->
гональными, если (х, у) =0.
Легко убедиться, что для двух ортогональных век-
торов х и у имеет место равенство
представляющее собой теорему Пифагора.
Можно также доказать, что для произвольных двух
-У ->
векторов х и у имеет место неравенство Коши-Буня-ковского:
В отличие от аффинного пространства, где все базисн (косоугольные
декартовы координаты) равноправны, в евклидовом пространстве существуют
особенно удобные базисы-орт огональные.
Если п ненулевых векторов е1, ег еп попарно
ортогональны, то они образуют ортогональный базис в n-мерном евклидовом
пространстве R.
Чтобы это определение имело смысл, нужно доказать,
что векторы elt eit ..., еп линейно независимы. Нетрудно убедиться, что
так оно и есть.
Можно еще доказать, что во всяком линейном пространстве существуют
ортогональные базисы. При этом векторы -ортогонального базиса можно еще
нормировать, т. е. выбрать их такими, чтобы каждый имел единичную длину.
Следовательно, векторы ортогонального базиса удовлетворяют равенству:
Благодаря наличию условия (4) очень просто выражается скалярное
произведение (х, у) двух векторов:
\х + у\* = Гх\*+\У\г>
(х, У)* < (х, x).Q, У)-
(3)
при i - k, при t =fck.
(4)
x='2lxiei и у=%у&,
(=i i
(х, У) = ххух + хаг/2 + ... + х"у" = 2 xtyt. (5)
• С
п
169
Если же в евклидовом пространстве базис является аффинным, то выражение
будет более сложным:
(*.
(6)
где коэффициенты ек) можно рассматривать как
элементы так называемой фундаментальной п-рядной симметричной матрицы
Su Bit • • • Вт
Вт ёпз
ёп
(7)
(где Bik = Skd> характеризующей базис пространства.
В случае ортонормированного базиса фундаментальная матрица принимает
простейший вид:
(7')
100 . . 0
010 . . 0
1*1= 001 . .. 0
000 . . 1
Далее легко проверить, что в ортонормированном базисе
координаты любого вектора fii суть скалярные
произведения этого вектора на соответствующие базисные векторы:
*/ = (*, е{). (8)
Отсюда ясно, что координаты вектора совпадают с его
проекциями на базисные векторы (оси координат). Заметим, что такое
утверждение не имеет места в аффинном базисе.
В ортонормированном базисе согласно (5) квадрат вектора равен сумме
