Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
пространства равна 2).
Отсюда следует, что линейная алгебра-это аналитический аппарат изучения
абстрактной геометрии я-мерных плоских пространств.
Но и геометрия простейшего плоского пространства содержит огромное
множество геометрических свойств, которые желательно разбить на отдельные
классы.
"Первоначально геометрия вообще не расчленялась. Она изучала главным
образом метрические-связанные с измерением размеров фигур-свойства
пространства. Лишь попутно рассматривались обстоятельства, связанные не с
измерением, а с качественным характером взаимного расположения фигур,
причем уже давно замечали, что часть таких свойств отличается
своеобразной устойчивостью, сохраняясь при довольно существенных
искажениях формы и изменениях положения фигур" (А. Д. Александров).
Немецкий математик Клейн сформулировал общий принцип классификации
геометрических свойств: рассматривая различные группы преобразований
пространства, объединяют в один класс те геометрические свойства фигур,
которые сохраняются при тех. или иных преобразованиях. Иными словами,
пространственные свойства как бы расслаиваются по их устойчивости.
Представим себе, что на квадратной плоской резиновой пленке нарисован
круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами. Если мы равномерно
растянем пленку вдоль одной стороны квадрата, то круг превратится в
эллипс и углы между диаметрами уже не будут прямыми (рис. 47). Таким
образом, мы видим, что такая равномерная линейная деформация существенно
изменила ряд геометрических свойств пространства. Однако некоторые
свойства при этом сохранились. Так, не нарушилась прямолинейность
диаметров, точка пересечения диаметров делит их пополам (как в круге) и
т. д.
Геометрические свойства, которые сохраняются при равномерном растяжении
или сжатии пространства в трех взаимно перпендикулярных направлениях
(такие преобразования называются аффинными), образуют так называемую
аффинную геометрию. К аффинным свойствам отно-
162
<г\ С'
D /
Рис. 47
сятся прямолинейность линий, параллельность прямых, пересечение медиан
треугольника в одной точке и др.
Напротив, метрические свойства-длина отрезков, площадь фигур, углы между
прямыми и т. п.-сохраняются только при ортогональных преобразованиях,
сводящихся к простому повороту (или движению) пространства как целое.
Геометрические свойства, остающиеся неизменными при ортогональных
преобразованиях образуют евклидову геометрию.
Если резиновую пленку закрепить на жестком каркасе, то единственным
возможным преобразованием пространства будет его вращение (или движение).
При этом неизменными будут как аффинные, так и метрические свойства,
которые в совокупности составляют евклидовы свойства пространства.
Аналогично свойства, сохраняющиеся при проективных или конформных
(сохраняющих углы) преобразованиях, образуют соответственно проективную и
конформную геометрии.
Если в обычной евклидовой геометрии мы отвлекаемся от реальных свойств
тел, кроме геометрических, то при выделении из нее классов как бы
совершается дальнейшее абстрагирование от всех других геометрических
свойств, кроме тех, которые рассматриваются в данном классе.
Так, изучая аффинные свойства, можно мыслить себе некоторое
"воображаемое" пространство, в котором все фигуры не обладают никакими
другими геометрическими свойствами, кроме аффинных. Ясно, что аксиоматика
геометрии такого абстрактного пространства будет более проста (содержит
меньшее число аксиом), чем аксиоматика евклидовой геометрии. Следствия из
этой аксиоматики характеризуют аффинные свойства фигур в обычном
пространстве.
Из изложенного понятно, что аффинные свойства являются более глубокими,
чем метрические. Еще более
163
глубокими геометрическими свойствами являются топологические,
сохраняющиеся при самых различных непрерывных (топологических)
преобразованиях пространства. Так, при любой непрерывной деформации (без
разрывов) резиновой пленки окружность может принять произвольную форму,
но будет оставаться замкнутой линией. Изучением таких свойств занимается
топология, а абстрактное пространство, в котором фигуры обладают только
топологическими свойствами, называют топологическим пространством.
Вернемся теперь к определению понятия линейного пространства. Легко
проверить, что условия (I-VI) описывают не метрические свойства плоского
пространства, а только его аффинные свойства. Поэтому можно утверждать,
что линейное пространство-это абстрактное аффинное пространство любого
конечного числа измерений.
§ 2. Размерность линейного пространства
Как известно, пространство как форма существования материи, т. е. наше
реальное пространство, имеет три измерения-длину, ширину и высоту. Тем не
менее в теоретической физике широко используют как некую математическую
абстракцию пространство большего числа измерений. Поэтому изучение
линейных пространств любого числа измерений имеет важное значение для
математической физики. Чтобы выяснить, как определяется размерность
