Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
а + (- а) = 0; (V)
е) при умножении произвольного вектора а на число 1 вектор не меняется:
1 •а = а. (VI)
Такое громоздкое определение вызывает обычно у начинающего некоторое
недоумение, возникают вопросы: почему рассмотренное множество называют
линейным пространством? Почему' каждый вектор этого множества обязательно
должен обладать свойствами (I) - (VI)? и т. п.
Чтобы ответить на эти вопросы и пояснить геометрическую сущность
указанного определения, познакомимся немного с методологией современной
геометрии.
Геометрия как математическая наука о пространственных отношениях и
формах тел пользуется двумя основными методами:
синтетическим (или собственно геометрическим) и аналитиче-
ским. Первый был развит еще геометрами древности и прежде всего Евклидом.
В этом методе все выводы и рассуждения строятся на чисто геометрической,
наглядной основе, с привлечением пространственного опыта; по существу
синтетический метод состоит в оперировании самими геометрическими
образами и понятиями.
Типичными примерами применения синтетического метода в элементарной
математике являются задачи на построение и доказательство теорем о
равенстве треугольников путем наложения.
Аналитический метод берет начало с работ известного французского
математика Декарта, введшего в первой половине XVII века в геометрию
систему координат и сопоставившего каждой точке пространства тройку чисел
х, у, г. Это позволило сначала свести простые геометрические понятия и
выводы к числам, уравнениям, вычислениям (аналитическая геометрия), а
затем решать и более тонкие геометрические задачи с помощью аппарата
математического анализа (дифференциальная геометрия). Этот метод по
существу слил в одно целое геометрию, алгебру и анализ. Примерами
применения этого метода являются тригонометрические и алгебраические
способы решения различных элементарных геометрических задач.
В современных геометрических теориях аналитический метод играет важнейшую
роль, он применяется не только для доказательства различных теорем, но и
для определения исходных, основных геометрических понятий.
Дальнейшим развитием этого метода в геометрии явились векторное и
тензорное исчисления, позволившие аналитически характеризовать
геометрические объекты и соотношения инвариантным (не зависящим от выбора
системы координат) способом.
Действительно, основному геометрическому объекту-точке сопоставляется
радиус-вектор, так чтО произвольной области пространства, представляющей
собой непрерывное множество точек,
160
приводится в соответствие векторное множество. Умея оперировать с
векторами, мы, очевидно, можем любую геометрическую задачу решить
методами векторной алгебры.
Векторное исчисление оказалось наиболее удобным аналитическим аппаратом
для исследования геометрии того или иного пространства. Но для того чтобы
с помощью векторов можно было изучать геометрические свойства данного
пространства, нужно сформулировать основные определения и операции над
векторами как направленными отрезками, соединяющими две точки, т. е.
построить векторно-алгебраическую аксиоматику, из которой все утверждения
и факты указанной геометрии вытекали бы как следствия.
Ясно, что каждой геометрии соответствует своя совокупность аксиом. При
пользовании синтетическйм методом это-геометрические аксиомы. Когда же
исследование пространственных соотношений производится с помощью
векторного анализа, используются эквивалентные геометрическим
алгебраические аксиомы. Так, определения понятия вектора и правил
действия над векторами будут различными для геометрий на плоскости и
сфере, ибо геометрические аксиомы этих геометрий различны (например,
кратчайшим расстоянием на сфере является не прямая, а дуга большого
круга).
Легко видеть, что условия (I)-(VI), которым должны удовлетворять векторы
двумерного линейного пространства, выполняются для обычной плоскости.
Точно так же удовлетворяют этим условиям векторы реального трехмерного
пространства, поскольку мы считаем его евклидовым или плоским (лишенным
кривизны). Заметим, что великий Лобачевский впервые понял, что вопрос об
ев-клидовости нашего пространства не является столь простым, как
считалось ранее, что ответить на него может только опыт; иными словами,
решить задачу о кривизне реального пространства должны не математики, а
физики. В дальнейшем эту замечательную мысль развил немецкий математик
Риман, который показал, что плоское, евклидово пространство является
простейшим частным случаем пространств различной кривизны.
Соответственно, евклидова геометрия представляет собой предельный вид
более общей римановой геометрии.
Согласно общей теории относительности четырехмерное пространство-время не
является плоским (евклидовым),
161
его кривизна переменна и определяется наличием гравитирующих масс вблизи
рассматриваемой точки.
Ясно, что линейное пространство-это обобщение геометрического понятия
плоского пространства, в частности плоскости (когда размерность
