Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
независимых собственных векторов. Такой оператор называют оператором
простой структуры.
Матрицу оператора простой структуры А всегда можно привести к
диагональному виду, для этого следует в качестве базиса n-мерного
пространства выбрать его соб-
185
стЕенные векторы. В этом случае мы получим: /\ -> ->
Ахх = 'кххх,
/\ -*¦ ->
Ах2 ... Х2х2,
/\-+ ->
Ахп= ...
/*ч
Поэтому матрица оператора А принимает форму:
Следует заметить, что различие собственных чисел является достаточным, но
не необходимым условием для простоты структуры оператора. Возможны
отдельные случаи, когда оператор имеет п линейно-независимых векторов,
хотя некоторым из них соответствуют одинаковые собственные значения.
Ясно, что в "собственном" базисе матрицы таких операторов также будут
диагональными; только вдоль диагонали будут встречаться одинаковые числа
= кк. Однако в подавляющем большинстве случаев операторы с кратными
собственными числами не имеют простой структуры и их матрицы не могут
быть приведены к диагональному виду. Отсюда ясно, что операторы простой
структуры являются частным видом линейных операторов. (Оказывается, что
специальным выбором базиса можно несколько упростить и матрицы операторов
непростой структуры, сводя их к треугольной', квазидиагональной2
1 Треугольной называется матрица, у которой все элементы, расположенные
ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:
"11 а12 а13
0 а22 а23
0 0 а33
2 Квазидиагональной называется матрица, у которой вдоль главной диагонали
стоят квадратные блоки, или "подматрицы", а все остальные элементы равны
нулю:
^11 0 0 0 0 0 0 0 0
А = 0 0 0 0 А22 0 0 0 0
0 0 0 0 о о о о •^33 :
186
или канонической (жордановой)1 форме.) Но соответствующая теория довольно
сложна, и мы ограничимся рассмотрением наиболее простых и важных для
математической физики классов линейных операторов сначала в комплексном
пространстве, а затем - в действительном.
В заключение этого параграфа приведем без доказательства еще два важных
свойства матриц:
1. Пусть Р (к) есть характеристический полином матрицы А, тогда Р(А) = 0
(теорема Гамильтона - Кели).
2. Если ..., кп являются собственными зна-
чениями матрицы А, то собственными значениями некоторого матричного
многочлена Р (А) являются числа Р (Х,х),
Р(К), .... Р(Ю-
Отсюда вытекает, что след степени матрицы равен сумме степеней
собственных значений матрицы-основания:
Sp Ат = кГ + К,+ ---+К.
§ 4. Линейные преобразования в унитарном пространстве
Пусть в комплексном евклидовом пространстве задан
/\
некоторый линейный оператор А. Можно доказать, что
в этом пространстве всегда существует (и притом только
/\
один) сопряженный ему оператор А + , удовлетворяющий условию
(Ах, у) = (х, А + у), (10)
где х и у-произвольные два вектора унитарного про-
странства. На основании первой аксиомы скалярного
произведения в комплексном пространстве можно определение (10) записать в
эквивалентном виде:
(у, Ах) = (х, А + у)*. (10')
/\ /\
Операция сопряжения, т. е. переход от Л к А+, обладает
1 Канонической называется квадратичная матрица, у которой каждый
диагональный блок имеет форму:
1 0
0 1
0 0 kk
где размерность подматрицы равна кратности собственного числа Хц.
187.
вытекающими из определений (10) или (10') следующими простыми свойствами:
(Л+)+=Д (М)+ = ХМ + , (Л + )-1 = (Л-1)+,
/\ /S /S /\
(А + Я)+ = Л+ + Я+, (А-В)+ = В+-А +.
Рассмотрим матрицы сопряженных операторов в некото-ром ортонормированном
базисе е1г е2, ..., еп. Пусть
хч хч
Л-||а/Л| и Л+==||а&||. Применяя операторы А и Л+ к ба-зисным векторам eh
легко убеждаемся, что
n('fe - ^kit
т. е. матрицы А и А+ являются эрмитово-сопряженными: А+ = А*. Операция
эрмитового сопряжения 6 определен-'ной степени напоминает переход от
данного числа а к его комплексно-сопряженному а*.
Среди комплексных чисел те, для которых а -а*, являются действительными.
Аналогичное положение имеет
место у линейных операторов. Если линейный оператор 5 равен своему
сопряженному оператору:
S = S\ (11)
то он называется самосопряженным (или эрмитовым). Очевидно, что матрица
самосопряженного оператора является эрмитовой, т. е. aik = ali. (В
действительном пространстве матрица самосопряженного оператора
симметрична.)
Можно доказать следующие утверждения.
1. Любой линейный оператор А может быть представлен так:
/S
A =S2 -j- iS2,
где Sj и S2-самосопряженные операторы. (Отсюда вытекает, что среди всех
линейных операторов самосопряженные операторы играют такую же роль, какую
играют действительные числа среди всех комплексных.)
/S /S
2. Если Sj и 5а - самосопряженные линейные опера-
/N /Ч
торы, то их произведение будет самосопряженным
тогда и только тогда, когда операторы и 52 между собой коммутируют.
188
3. Если самосопряженные операторы St и St коммутируют, то все их п
собственных векторов совпадают. (Справедлива также обратная теорема.)
Выбрав в качестве базиса единую систему собственных векторов, мы обе
самосопряженные матрицы St и S2 одновременно приведем к диагональному
