Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 50

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 .. 56 >> Следующая

§ 2. Матричная алгебра
Матрицей порядка пхт называют математическую величину А, характеризуемую
пхт числами, расположенными в виде прямоугольной таблицы из п строк и т
столбцов;
% а13 • • • Я,
В физике обычно встречаются квадратные матрицы порядка пхп:
аа • • • а1 а
А = • ' * * "
• • " " *
ап1 ' • • апп
столбцевые матрицы порядка пх\:

Фа
ТИФ, и
.Ф".
177
и строчные матрицы порядка 1хп:
^ = II ^ II = (^i. Ч"*. -.
Матрицы Л и В одинакового порядка равны между собой (Л = В), если равны
все соответствующие элементы этих матриц, т. е. aik = bik.
Суммой матриц Л и В (одинакового порядка) называется матрица С = Л+В, у
которой каждый элемент ра(r)ен сумме соответствующих элементов слагаемых
матрицы:
Cik = aik + bik.
Произведением матрицы Л на число % называют матрицу В = А.Л, элементы
которой dik = 'kaik.
Произведением матрицы Л порядка пхт на матрицу В порядка mxl называют
матрицу С=Л-В, у которой элемент cjk равен сумме произведений всех
элементов г-й строки матрицы Л на соответствующие элементы k-vo столбца
матрицы В:
т
cik = 2 a'jbjk- (2)
/
Заметим, что произведение матриц определенно лишь тогда, когда число
столбцов у матрицы Л равно числу строк у матрицы В.
Матрицу Л, получаемую из Л заменой строк столбцами и наоборот, называют
транспонированной матрицей
&ik = &ki •
Если Л = А, то матрица Л называется симметричной (aik = aki). Если же Л =
-Л, то матрицу А называют антисимметричной {ап=-аь!); все ее диагональные
элементы равны нулю (акк= 0). Отметим, что имеет место
тождественное равенство (ЛВ) = В-Л.
Легко видеть, что матрица Л, транспонированная по отношению к матрице Л
порядка пхт, имеет порядок тхп, В частности, строчная матрица ? и
столбцевая матрица ? являются взаимно транспонированными.
Ясно, что квадратную ц-рядную матрицу Л = ||а,-4|| можно умножать на
столбцевую матрицу ? = ||i|y|| порядка ях1 только справа, а на строчную ?
= ||ijyf-слева;
178
при этом в первом случае получается матрица-столбец, а во втором -
матрица-строка. Символически это изображают так:
? х 0 = ?,
? хо = ?.
Очевидно, что при умножении матрицы-строки порядка (1хл) на матрицу-
столбец порядка (ях 1) получается матрица порядка 1x1, т. е. попросту
число:
Ч>2
При перемножении двух квадратных матриц порядка пхп получается квадратная
матрица того же порядка:
0X0=0-
Произведение матриц, как и операторов, вообще говоря, некоммутативно:
АВфВА.
Среди квадратных матриц особую роль играют диагональные матрицы, у
которых отличны от нуля только элементы с одинаковыми индексами:
Л =
Яц 0 .. . G
0 д22 . . 0
0 0 . • &пп
Ясно, что соответствующий диагональной матрице опера-
тор А "растягивает" векторы базиса е1% еа еп соответственно в ..., %п
раз:
е- = Ке;.
В частности, если Кг = Кя = ... =Кп=с, то такой ска-
179
л яр ной матрице
Л =
соответствует линейное преобразование подобия А, равномерно
"растягивающее" в с раз (или "сжимающее"-при с < 1) все базисные векторы.
Наконец, единичному и нулевому операторам соответствуют матрицы:
(1 1 • О О 0
и 0 = 0 0... 0
• Ь 0 0 0
Важной характеристикой всякой матрицы А является ее определитель det А.
Всякая неособенная матрица А (для нее det А^О) имеет обратную матрицу Л-
1;
А~1 =
iit d A2i ~T Ani d
Ain d A 2n d ••• Ann d
где d = det A, Ai}-алгебраическое дополнение ее элемента а/у. Очевидно,
что Л-Л-1 = Л-1*А = I.
Легко убедиться, что определитель произведения двух квадратных матриц С =
А-В равен произведению определителей сомножителей:
det С = det Л -det В.
Если матрица Л содержит комплексные элементы, то вводят понятие
комплексно-сопряженной по отношению к Л матрицы Л*, элементы которой a}k
отличаются от соответствующих элементов aik только комплексным
сопряжением:
(r)ik = (Pilt)*'
Ясно, что если Л* = Л, то матрица Л является действительной.
180
Матрица А+, получаемая из А путем транспонирования ее и комплексного
сопряжения называется эрмитовосопряженной матрицей по отношению к матрице
А:
(r)lk - Qki-
Если А+ = А, то матрица А называется эрмитовой или самосопряженной. Такие
матрицы широко используются в квантовой механике.
Важным понятием матричной алгебры является ранг матрицы.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок г отличных от нуля миноров,
составленных из элементов А.
Ясно, что в случае квадратных матриц порядка п их ранг может принимать
значения от 0 (для нулевой матрицы) до п для неособенных матриц,
определитель которых отличен от нуля.
§ 3. Исследование линейных преобразований с помощью матриц.
Характеристический многочлен
Выберем в я-мерном линейном пространстве R неко--> -> ->
торый базис е" еа, ..., еп и рассмотрим векторную матрицу-столбец:
е,
У-

компонентами которой являются базисные векторы. Пусть в результате
линейного преобразования А каждый век-тор е,- "старого" базиса
превратится в соответствующий век-
тор е\ "нового" базиса: Aei = e'i. Тогда это преобразование в матричной
форме примет следующий вид:
(3)
где А - матрица линейного оператора A, a Ч''- векторная
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed