Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
матричное исчисление является наиболее удобным алгебраическим аппаратом
для изучения линейных операторов в векторных пространствах конечного
числа измерений.
Подчеркнем, что линейный оператор имеет инвариант-
ный смысл-он превращает вектор х в определенный век-
тор у, независимо от выбора базиса, однако вид соответствующей матрицы
при изменении базиса меняется.
Линейные операторы можно складывать и умножать.
/\ /\
Суммой двух операторов A v. В называется оператор
/N ^ ^
С - А-\-В, результат действия которого на произвольный
вектор х равен сумме результатов действия на этот век-; /\ /\ тор
операторов Л и Л:
/\ /\-+ /\-+
Сх = Ах + Вх.
Легко видеть, что операция сложения ассоциативна и
^ч
коммутативна. Любой оператор А можно умножить на числа X из поля Р.
/\
Произведением оператора А на число X называется one-
/\ /\
ратор D = XA, действие которого на произвольный век-тор х равно
умноженному на число X результату дейст-
^ч
вия на этот вектор оператора А:
/\ -> /ч
Dx = ХАх.
174
Таким образом, множество линейных операторов образует линейное
пространство.
Оказывается, однако, что для элементов этого линейного пространства имеет
смысл еще операция умножения двух операторов.
/\ /\ Оператор С называется произведением оператора В на /\ -> оператор
А, если для любого вектора х
Сх = В(А х).
/\ /\
Произведение линейных операторов В и Л также являет-
/\ /\ /\
ся линейным оператором (3^=ВА.
Легко проверить, что, вообще говоря, произведение
/\ /\ /\ /\
операторов некоммутативно: В А Ф АВ. Можно сказать, что линейное
пространство линейных операторов образует некоммутативную алгебру. Тем не
менее среди множества операторов могут встретиться такие пары
коммутирующих операторов, произведение которых перестановочно:
/\ /\ /\ /\
FG - GF.
/\
В частности, единичный вектор I коммутирует с любым другим оператором.
Встречаются еще антикоммутирующие операторы, которые при перестановке
меняют знак произведения:
/\/Ч УЧ /\
FG = - GF.
Очевидно, что операторы можно возводить в произвольную целую степень:
/\ /\ >\ /\
Ап=^АА...А.
п раз
Умея находить сумму и произведение линейных one-
/Ч
раторов, можно найти любой полином от оператора А. Так, если
Р (t)~ a0tm + a1tm~1 -j- .. . +ат
есть некоторый многочлен m-й степени переменной t,
/\
то под полиномом Р (А) понимают линейный оператор Р (А) = aj- + 1
+ ... + ат.
175
Оператором, обратным к А, называют оператор А~г,
У\ /А -л- у\
удовлетворяющий условию А~гА = АА~1 = /.Не для всякого оператора
существует обратный. Операторы, имеющие соответствующие обратные
операторы, называются невырожденными. Ясно, что для невырожденных
операторов имеет смысл возведение в целую отрицательную степень;
/\ /\ /\ /\ /\
А~п = (А-1) = А~1-А-1.. .А-К
у- -/¦
""v" '
п раз
/\
Поскольку каждый линейный оператор А характеризует-
ся в некотором базисе е,- определенной матрицей А, то матрицы также
образуют некоммутативную алгебру, в которой сумме, произведению и степени
операторов соответствуют суммы, произведения и степени их матриц.
Вырожденным операторам, не имеющим обратных операторов, соответствуют
особые матрицы, определители
которых равны нулю.
/\ -* -*-Если оператор А преобразует вектор х в вектор у,
-> ____________________________________
то у называется образом вектора х, а х - прообразом век-
тора у. Совокупность ТА всех образов называется об-
/\
ластью значений линейного оператора А. Она образует некоторое
подпространство линейного векторного пространства R. Размерность
подпространства ТА называют
/\
рангом оператора А и обозначают ZA.
/\
Для каждого оператора А можно, вообще говоря, выделить из всего множества
векторов линейного простран-ства R некоторое подмножество МА таких
векторов х,
/Л -*
что Ах = 0. Подмножество МА образует в R подпро-
/\
странство, называемое ядром оператора А, размер-
/\
ность тА ядра называется дефектом оператора А.
Можно показать, что сумма размерностей подпространств ТА и МА равна
размерности линейного пространства R, т. е. сумма ранга и дефекта
оператора равна п:
га + ша = п.
/\
Другими словами, каждый линейный оператор А разбивает все множество
векторов пространства R на два не-
176
пересекающихся (т. е. не имеющих общих элементов) подмножества:
Т А.-\- МА = R.
/ч
В частности, если оператор А невырожден, то его дефект равен нулю и МА =
0. В этом случае ранг оператора гА равен размерности п пространства R.
Пусть, например, линейное пространство R представляет собой множество
всевозможных радиус-векторов резального трехмерного пространства, а
оператор А проецирует эти радиус-векторы на плоскость XOY. Ясно, что
векторы, коллинеарные оси Z, образуют одномерное подпространство МА.
Проекции же векторов образуют двумерное множество ТА, так что г А-\-тА--
3.
Матричное исчисление широко используется в современной теоретической
физике. Поэтому перейдем к более подробному изучению соответствующих
операторам матриц и действиям над ними.
