Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
виду.
Поскольку самосопряженные операторы широко используются в квантовой
механике, то познакомимся подробнее с их свойствами.
1. Собственные значения самосопряженного оператора действительны.
->
В самом деле, пусть х-собственный вектор, а к-
соответствующее собственное значение эрмитового опера-/\ /\ -> -> /\ -> -
> тора S, т. е. Sx = kx. Тогда согласно (10) (Sx, х) =
-> v4 -> /ч /ч
= (х, S+x). Но в силу самосопряженности S+ = S, по-
/Ч -* -
этому, подставляя вместо Sx равную ему величину Кх, получаем:
-> -> -> ->
(кх, х) = (х, кх).
Поскольку мы рассматриваем комплексное евклидово пространство, то, вынося
к за скобки, имеем:
к (х, х) = к* (х, х),
откуда
к = к*,
что и доказывает действительность числа к.
х\
2. Если S - самосопряженный оператор в л-мерном унитарном пространстве,
то все его п собственных векторов взаимно ортогональны.
Если выбрать в качестве базиса указанные взаимно ортогональные
собственные векторы, то матрица оператора примет диагональный вид.
Итак, в комплексном евклидовом пространстве векторы самосопряженных
операторов, являющихся обобщением понятия симметричных преобразований
действительного пространства, образуют "-мерную систему ортонормиро-
ванных векторов.
Аналогичным свойством обладает другой класс комплексных операторов-
унитарные. Линейный оператор 0
189
называется унитарным, если
А А А
?/•?/* = /. (12)
А А
Отсюда сразу следует, что U+ = U~l.
Чтобы подробнее познакомиться с унитарными опера-
-" у\ ->
торами, рассмотрим скалярное произведение (Ux, Uy). Применяя к нему
условие сопряженности (10), приходим к равенству
У /\ У У у\ у\ ->
(Ux, Uy) = (x, U+-Uy).
Принимая во внимание условие унитарности (12), полу-чаем окончательно:
(Ux, Uy) = (x, у).
/\
Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное
произведение для любых двух
векторов этого пространства.
-> -*¦
В частности, при х = у
/\ ->¦ ->¦ ->¦
(Ux, Ux) = (x, х).
Унитарный оператор не меняет длин векторов.
Выясним условия, которым удовлетворяют унитарные матрицы U,
соответствующие унитарным операторам.
Пусть в некотором ортонормированном базисе в м-мер-
ном унитарном пространстве оператору U соответствует матрица
ип "12 • • ¦ "1 п
и = "21 И22 • • • "2 п
"П1 """ • ¦ • "пп
Тогда сопряженному оператору U+ будет соответствовать матрица
"11 W21 • ¦ ип1
U' = ":. "22 • • ^П2
* * *
Щп "2п • • "пп
190
Из условия унитарности следует, что
П
U-U* = 1
/
Следовательно, в соответствии с правилом умножения матриц
Матрица U является унягсарнвй, есл" сумма произведений элементов какой-
либо строки (столбца) на соответствующие комплексно-сопряженные элементы
другой строки (столбца) равны 0, а сумма квадратов модулей элементов
любой строки (столбца) равна единице.
Условие (12') имеет простой геометрический смысл.
Пусть eit е2, ..., еп - некоторый ортонормированный ба-
/Ч->
зис. Тогда, как несложно убедиться, векторы Uex, /\ -> /\ ->
Ue2, ..., Uen также образуют ортонормированный базис, так как
Линейный оператор U является унитарным, если он переводит
ортонормированный базис в другой, также ортонормированный базис.
/Ч
Матрицы унитарного оператора U, как и самосопряженного оператора, можно
привести к простейшему диагональному виду:
Здесь собственные числа 'ki,'k2, ..., %п по модулю равны 1.
Итак, мы установили, что самосопряженные и унитарные операторы обладают
системой взаимно ортого-
при г = к, при i^k.
(К
К
и =
191
иальных собственных векторов. Оказывается, что и самосопряженные, и
унитарные операторы являются частными типами более широкого класса
нормальных операторов, обладающих указанным свойством.
Оператор N называется нормальным, если он коммутирует со своим
сопряженным:
/Ч /Ч /Ч /Ч
N-N+=N+-N. (13)
/Ч
Теорема: Для того чтобы у оператора N существовал ортогональный базис,
необходимо и достаточно, чтобы
/Ч
N был нормальным оператором, т. е. удовлетворял условию (13).
Докажем сначала необходимость. Пусть в некотором ортогональном базисе
(который без ограничения общности можно считать нормированным) матрица Л
имеет диагональный вид:
Тогда в этом базисе сопряженная матрица Л*, очевидно, равна:
К
т. е. она также является диагональной. Но диагональные матрицы между
собой всегда перестановочны: ЛЛ*=^Л*Л. Следовательно, оператор Л
нормальный.
Из основного свойства нормальных операторов вытекает, что их матрицы
всегда можно привести к диагональному виду.
§ 5. Линейные операторы в действительном евклидовом пространстве
Хотя вещественное евклидово пространство является частным случаем
комплексного евклидова (унитарного) пространства, свойства линейных
операторов, действующих в этих пространствах, могут существенно
отличаться.
192
Основная теорема алгебры справедлива только в поле комплексных чисел.
Поэтому характеристическое уравнение det (Л - XI) = 0 может не иметь ни
одного корня в поле действительных чисел (все собственные значения
/ч А
у А комплексные). В этом случае у оператора А не существует ни одного
