Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
совокупности объектов, объединенных некоторым общим признаком. С точки
зрения математики такая совокупность образует множество, а каждый ее
объект называют элементом множества. В зависимости от числа содержащихся
в них элементов множества бывают конечные и бесконечные.
Множество считается заданным, если о любом предмете можно сказать,
принадлежит он этому множеству или нет. Обычно множества определяются
либо заданием всех их элементов, либо путем указания характеристического
свойства, коим обладают только элементы данного множества. Так, точки
окружности образуют бесконечное множество, элементы которого (точки)
объединены тем свойством, что все они равноудалены от центра. Линейная
алгебра рассматривает множества, в которых возможны определенные
алгебраические операции.
Если указан закон, по которому каждой паре элементов а и Ь, взятых в
определенном порядке из множества М, однозначным образом ставится в
соответствие третий элемент с, также принадлежащий этому множеству, то
говорят, что в множестве М определена алгебраическая операция, которую
называют сложением (или умножением):
а-\-Ь=с (или ab = c).
Обратим внимание на то, что алгебраические операции обладают следующими
свойствами:
1) операцию можно осуществить над любой парой элементов данного
множества;
2) операция определяется однозначно, т. е. для каждой пары элементов она
выполняется единственным способом и результат оказывается также
единственным;
157
3) получающийся в итоге операции над двумя элементами множества новый
элемент обязательно принадлежит к тому же множеству.
Если результат алгебраической операции не зависит от порядка участвующих
в ней элементов, т. е. а-\-Ь = = Ь-\-а (или ab = ba), то операция
называется коммутативной (перестановочной); в противном случае
алгебраическая операция некоммутативна. Операции еще подразделяют на
ассоциативные (сочетательные), если (а + &) + с = а+ (Ь + с), и
неассоциативные, если результат операции над тремя элементами зависит от
последовательности ее выполнения между парами элементов.
Среди множеств, в которых возможны алгебраические операции, современная
алгебра изучает прежде всего следующие:
Группы-множества с одной ассоциативной операцией (не обязательно
коммутативной).
Кольца-множества с двумя алгебраическими ассоциативными операциями
(сложением и умножением), связанные дистрибутивным (распределительным)
свойством:
а (6+с) = я6 + ас.
Поля - коммутативные кольца, в котором есть нулевой и единичный элементы
0 и 1, причем для каждого ненулевого элемента а существует обратный
элемент а-1, т. е. аа~1=1.
Легко убедиться в том, что каждое из множеств чисел-рациональных,
действительных, комплексных - образует поле.
По определению алгебраическая операция есть действие над элементами
одного и того же множества. Однако для решения многих практических задач
пришлось обобщить понятие операции, применяя ее к элементам из разных
множеств.
Так, пусть дано множество векторов, характеризующих электрическое поле,
созданное точечным зарядом q, т. е.
векторное поле Е (г). Если величину заряда изменить в а раз (а-любое
действительное число), то векторы на-
пряженности Е в каждой точке также изменят свою длину в а раз.
Следовательно, возникает необходимость ввести операцию умножения
элементов векторного множества S на элементы числового поля Р. В
современной алгебре под
понятием вектор а понимают абстрактную математическую величину,
характеризующуюся в л-мерном пространстве п скалярными числами-
координатами {а1У аг, ..ап},
158
лишь бы для таких величин была указана операция сложения.
Таким образом, современная алгебра наряду с группами, кольцами и полями
изучает также абстрактные векторные множества, для которых определена еще
операция умножения любого его элемента на произвольное число из
некоторого поля Р.
В частности, предметом линейной алгебры являются такие векторные
множества, для которых операции сложения и умножения на число
удовлетворяют ряду рассматриваемых ниже условий. В этом случае множество
векторов называют линейным (или аффинным) векторным пространством.
Основная задача линейной алгебры - это изучение линейных пространств и
аффинных преобразований таких пространств.
§ 1. Линейное векторное пространство
Множество векторов R образует линейное (аффинное) пространство, если для
всех элементов из R заданы операции сложения и умножения на числа1,
причем обе эти операции удовлетворяют следующим условиям:
а) коммутативности -
г) существует единственный нуль-вектор 0, такой, что для любого
вектора а имеет место равенство
1 Векторы с = а-\-Ь и d = Xa принадлежат векторному множеству, если
только а и Ь - элементы этого множества.
\
a -f- о = b а I
-> -> \ * Ха =аХ )
б) ассоциативности -
(I)
(a -j- b) -f- с - a -f- ф -f- с) )
-* -> ( ' А, (ра) = (А,ц) а )
(П)
в) дистрибутивности-
(III)
а -\~0 = а\
(IV)
159
д) для всякого ненулевого вектора а существует един-
->
ственный противоположный вектор -а, который в сумме с а дает нуль:
