Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ниже приводятся два примера, когда удается определить функцию Грина для
задачи Дирихле.
§ 2. Функция Грина для шара
Пусть область V является шаром радиуса а, а точка М0 лежит внутри шара на
оси X, имея координаты (х0, 0, 0).
Построим точку М\ (-,0,0), которую назовем сопря-\ *о I
женной относительно ограничивающей шар сферы (рис. 45). Нетрудно
убедиться, что для каждой точки N, лежащей на сфере, отношение | NM*01/|
NM0 | есть величина постоянная. Действительно, треугольники OM0N и ONM"0
- ( lOMol |Otf| * \
подобны это следует из того, что ----------=-------= - .
V ЮЛП \ом11 а)
Поэтому отношение длин и оставшихся третьих сторон
|ЯЛ40| к |ЛШЦ| также равно xja, т. е. не зависит от
положения N на сфере.
Теперь можно утверждать, что для произвольной точки М внутри шара функция
0 7)
(где г = |ЛШ0|, г* = |ММ\\) является функцией Грина.
152
Чтобы проверить это, достаточно показать, что Н (М)= а 1
= - ---т удовлетво-
Xq г
ряет внутри шара V уравнению АЯ=0, а на поверхности шара
л|* =-т-
Так как г* =
= |АШ"| для любой точки внутри шара есть величина, отличная от нуля, то
во всей области V
а(±)=о
Что касается второго условия, то ясно, что
Но
или
H\S = H(N) =
I NM0
\NMo
\NMa
NM о
Следовательно,
NM0\
Таким образом, функция (17) является функцией Грина для рассматриваемой
задачи.
Чтобы теперь мы могли воспользоваться общей формулой (16), вычислим еще
производную ^ на сфере: дй _ д_ гл \__e_ /_1_'
?=а ~ dR L V т ) л'о U*/
dR
х'о -
где R- радиус-вектор любой точки М шара, отсчитываемый от центра. На
рисунке 45 ясно, что r2 = R2 - 2Rx0cosy. Поэтому
. й ("М 9 ° w - - - -^0! v
'dR'
-2 Rx0 cosy)-1/'2 =
153
Полагая, что R = a, получаем:
±(± dR I г
а-хо cos V ^
Я=а (а2-\-хо-2ах0 cos у)3/2
Если вместо хд подставить а2/х0, мы найдем значение производной ^(^)я=в:
d I 1 \ ах0 - а2 cos у
dR \r*JR=a ( " | Q4 "а3
*о И-г-2 -cosy V х0 х0
После упрощений, приходим к выражению:
д f \ \ хо х0 - a cosy
dR\r*jR=a а2 (а2-{-х% - 2ах0 cos y)3/a
Объединяя (18) и (19), определяем входящую в (16) производную:
dG_ дп
(19)
а--2ax0cosy)-3/2. (20)
Подставим теперь это выражение в (16), получаем решение задачи Дирихле
для шара в виде квадратуры (искомую функцию вместо ф обозначим через U):
V ^ = (*'1 *s- <21>
В общем случае, когда точка Мд обладает произвольными сферическими
координатами г0, 0О, фр, это решение удобнее представить в сферической
системе координат (dS = = a2 sin 0 d0 ^ф):
2Я Л 2 2
i("-+,s-2r:c.sv)'"f(e'f)sine'ie<if'<22)
где нетрудно показать,
cos у = cos 0 cos 0О + sin 0 sin 0О cos (ф-ф0). (23)
Интеграл (22) называется интегралом Пуассона для шара.
В том случае, когда задача Дирихле является плоской и область определения
функции U представляет собой круг радиуса а, интеграл Пуассона принимает
более простой вид:
2л а
i/(M0) = i/(r0e0)=--Lf 21 a t~ro щ <24)
J а2-\-го-2ar0 cos (0О_Ф)
154
Интересно заметить, что ранее (гл. II, § 3) мы решили аналогичную задачу
методом Фурье и получили решение для круга в виде ряда. Можно легко
показать, что эти два решения эквивалентны.
§ 3. Функция Грина для полупространства
Пусть нужно найти функцию U (х, у, г), удовлетворяющую в полупространстве
г > 0 уравнению Лапласа AU = 0 и принимающую на плоскости XOY (г = 0)
заданное значение:
У |г=о = /(*> У)-
Как и в случае конечной области V, представляем функцию Грина для
произвольной точки верхнего полупространства (г > 0) в виде двух
слагаемых:
С(М) = 1 + Я(М), (25)
где г = |АШ0| есть расстояние произвольной точки М от некоторой
фиксированной М0 (х0, у0, z0). Что касается функции Н (М), то она по-
прежнему удовлетворяет двум
условиям АН = 0 и Н |г=0=--р-, здесь r' = NM0-расстояние от М0 до любой
точки N (х', у') на плоскости 2 = 0. Поскольку G(N) = 0, то решением
задачи является функция:
и (М.) = U (х0, у0, 20) = -iJ/(X, y)^ds. (26)
s
Ясно, что
dG _ _dG_ дп s~ dz 2=o'
Поэтому
+ 00
У (*o> Уо> zo)= 4^- j j / (x, У) (^)z=0dxdy- (27)
+ 00
В качестве функции H (M) = H (x, у, г) выберем величину Н(х, У, г) = - р,
(28)
где г* = | AIAI* | есть расстояние от текущей точки М до точки Мо(*о> y0,
z0), сопряженной точке М0 (рис. 46).
155
Несложно убедиться, что функция (28) удовлетворяет и ¦ уравнению Лапласа
ДЯ = 0 и граничному условию
Я|5 = Я(Я) =
= Н(х, у, 0)=
поскольку г * = = \M;N\=\M0N\=r'. Подставляя (28) в (26) и записывая
полученное выражение в развернутом виде, находим для функции Грина
следующее выражение:
G (х, у, z) = ¦ >- - . 1 ¦¦ . ¦ -
V(x- *о)2 + (У-г/о)2 + (z - Z0)2
1 . . (29)
V(x- *0)2 + (У-У о)2 + (z + Z0)2
Дифференцируя эту функцию по z, получаем:
02 =------------------__________ /qq\
дг [(*-*о)24Чг/-г/о)2+*о]3/2 '
Подставляя (30) в (27), приходим к окончательному вы-V (х0, Уо> 20) =
= ^[^f(x>y)\.(x-xo)2 + (y-yo)2 + zl]-^dxdy, (31)
ражению:
+ 00
являющемуся решением рассматриваемой задачи.
Часть третья ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава I.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В физике, как и других науках, часто приходится рассматривать различные
