Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Idl
столбцевая матрица нового базиса:
-+ e'i
V =
< ^П у
Понятно, что обратное преобразование, превращающее новый базис в старый
записывается аналогично:
A ~1W = W. (3')
Будем далее развивать матричную символику с целью изучения линейных
преобразований.
->
Координаты произвольного вектора х в я-мерном пространстве можно
объединить в единую матрицу-строку:
Ф = (-^1> ^2......^п)-
Поскольку векторы базиса образуют векторную матрицу-
столбец то произвольный вектор
-+¦ ->
х = Е xfii
i
можно рассматривать как произведение строчной мат-рицы Ф на столбцевую
матрицу
х = (хг . . . *")•
= Ф-'Р.
(4)
В ином базисе е[, ..., е'п, связанном с исходным преоб-
/\
разованием А, тот же вектор будет определяться матричным равенством:
х = (х[ . .. *;)•
= Ф'.Ч".
(4')
182
Выясним теперь, как связаны координаты х\ вектора
в новом базисе г]/ с координатами xt того же вектора
в старом базисе г]).
Приравняв правые части (4) и (4') и подставив в (4')
вместо матрицы г]) ее значение из (3'), получим: ф'?' = Ф-Л-1-?'.
Отсюда
ф' = ф. Л-1.
Транспонируя это матричное равенство, приходим к соотношению:
ф' = Д-1.ф, или (в развернутом виде):
(хх
= А-1
(5)
Итак, в то время как базисные векторы ег- преобразуются с помощью матрицы
Л, координаты векторов преобразуются с помощью обратной транспонированной
матрицы Л-1.
/\
Всякий линейный оператор А характеризуется в каждом базисе своей
матрицей, поэтому необходимо еще установить аналитическую связь между
матрицами, определяющими один и тот же оператор в различных базисах.
Пусть базисы ? =
/
¦ ¦
• и ?' = *
.1, 7;.
связаны между
собой матрицей преобразования С:
?' = С?.
Пусть, кроме того, существует некоторый линейный one-/\
ратор А, матрица которого в базисе ? имеет вид А =||а,*А|,
а в базисе ?' он принимает вид Л'=||а^||. Задача сводится к установлению
зависимости между Л' и Л.
183
Оказывается (доказательство приводить не -будем},,что Л'=С-1ЛС. (6)
Следовательно, каждому линейному оператору в данном линейном пространстве
соответствует бесчисленное множество подобных матриц А, А', А", ...,
каждая из ко-
/ч
торых описывает оператор А в своем базисе. Две подобные матрицы связаны
друг с другом соотношением А'~С~1АС, где неособенная матрица С
характеризует линейное преобразование соответствующих базисов. Обратим
внимание на то, что определители всех подобных матриц между собой равны.
Нетрудно также доказать, что и следы подобных матриц одинаковы. (Следом
матрицы называют сумму всех ее диагональных элементов ап + а22+... + +
апп - ЪаИ.) Иными словами, определитель и след матрицы преобразования
являются инвариантами.
Уже при изучении двумерных тензоров мы установили, что обычно существует
некоторая преимущественная система координат, в которой матрица
компонентов тензора имеет простейший вид.
Перейдем теперь к решению аналогичной задачи в общем случае комплексного
линейного пространства п измерений.
/\ -+ Пусть дан оператор А, который каждому вектору х рассматриваемого
пространства ставит в соответствие
новый вектор у. Если при действии этого оператора на
некоторый вектор х получается вектор, отличающийся от первоначального
численным множителем
Ах = Кх, (7)
то ненулевой вектор х называется собственным вектором
Л
оператора А, а число К-собственным значением1.
Каждый линейный оператор может иметь несколько
-) ->
различных собственных векторов xt, х2, .... Понятно, что
если х-собственный вектор, то и ах (где а-любое число) тоже является
собственным вектором; но такие два кол-линеарных вектора не считаются
существенно различными.
1 Заметим, что в случае действительного векторного пространства
собственные числа К являются действительными.
184
Чтобы определить собственные векторы оператора А,
/\ ->
учтем, что при действии А на такой вектор х должно выполняться равенство
(7), т. е.
(А - Х1)х = 0. (7')
Поскольку х -фО, то отсюда следует, что матрица А-XI особенная, и ее
определитель равен нулю:
а11 ^ а и а13 • а1п
а21 ааг ^ а23 • а2п = 0 (8)
@П1 @П2 апЗ " • • апп ^
Это-характеристическое уравнение оператора А. Его левая часть
Р (X,) = Хп -\-Сп_^Хп~1 +... -j-CjX, + С0 (9)
называется характеристическим полиномом. Его коэффициенты C"_j и С0
выражаются так:
C"_i = Sp A, C0 = det/4.
Как известно из алгебры, в поле комплексных чисел
уравнение п-й степени Р (Х) - 0 имеет п корней, часть из
которых могут быть кратными.
Таким образом, любой линейный оператор в "-мерном
комплексном пространстве имеет п собственных значений
Xj, Х2, ..., Хп. Поступая так же, как при нахождении
главных направлений плоского тензора (см. гл. I), мы
для каждого собственного значения Хк найдем соответ-
->
ствующий собственный вектор хк. При этом можно доказать, что если
собственные значения Xlt , Хк по-
парно различны, то соответствующие им собственные
векторы xlt х2, ..., хк линейно независимы.
Отсюда следует, что если все п корней характеристического полинома Р (X,)
различны, то оператор в комплексном пространстве имеет п линейно
