Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
пространства, введем понятие линейной независимости векторов.
Векторы а1( а2, ..., а" называются линейно независи-
-> -Г ->
мыми, если равенство + а2а2 + .. . + а"ап = 0 возможно только при = а2 =
... = ап = 0.
->
Иными словами, ни один из векторов а,- нельзя представить в виде линейной
комбинации (п-1) остальных
п
векторов. Если же равенство -0 может быть удов-
k
летворено хотя бы при одном ненулевом ah то векторы alt -> ->
a2, ..., ап являются линейно зависимыми. В этом случае всегда можно один
из векторов представить в виде линейной комбинации остальных:
a,- - • • • Р/Р(+1^7+1
164
Теперь можно перейти к определению размерности пространства.
Рассмотрим прямую (одномерное пространство). Ясно, -> ->
что любые два вектора а и & на ней могут отличаться только численным
множителем:
-> ->
Ь = аа.
Это значит, что в одномерном пространстве имеется
только один линейно независимый вектор.
Соответственно на плоскости (двумерное пространство)
всегда можно выбрать два линейно независимых вектора -> -+
at и а2 (для этого достаточно, чтобы они не были колли-
->
неарными). Но любой третий вектор b на этой плоскости
можно разложить по этим векторам а± и а2, т. е. пред-ставить в виде
линейной комбинации:
-> ->
Ь = а1а1 + а2а2.
В трехмерном евклидовом пространстве всегда можно выбрать три
некомпланарных линейно независимых век-
тора alt а2, а3. Но любые четыре вектора обязательно линейно зависимы:
-> -> -> -> b - axax + a 2а2 + ос3а3.
Приведенные примеры показывают, что максимальное число линейно
независимых векторов пространства совпадает с размерностью этого
пространства.
Естественно поэтому ввести такое определение. Линейное пространство
называется " мерным, если в нем существует п и только п линейно
независимых векторов.
-> ->
Совокупность п линейно независимых векторов ех, е2,
->
..., еп " мерного пространства называется базисом этого пространства.
Нетрудно убедиться в том, что не только в обычном трехмерном, но и
пространстве любой размерности справедливо следующее утверждение:
->
В " мерном пространстве можно каждый вектор х представить, и притом
единственным образом, как линейную
кцмбицацию векторов базиса: * = xtet + X,es+ ... +хпеп.
->
165
Числа хг, х2, ...,хп называют координатами вектора х
в данном базисе.
Наконец, очень просто проверить, что при сложении -*¦ -"¦
двух векторов х и у их координаты складываются, а при
-у
умножении вектора х на число к его координаты умножаются на это число.
Важным понятием линейной алгебры является изоморфизм.
Линейные пространства R и R' называются изоморф-
ными, если между векторами х из R и векторами х' из
R' можно установить такое взаимно однозначное соот--"¦ -"¦ -"¦
ветствие хч->х', что если вектору х соответствует век-->¦ -"¦ -"¦ тор х',
а вектору у->-у', то: а) вектору х + у соответ-
-> -У -У
ствует вектор х' у1 и б) вектору кх соответствует век-
-У
тор кх'.
Можно показать, что все пространства, имеющие одну и ту же размерность п,
изоморфны друг другу и, наоборот, пространства различной размерности
заведомо не изоморфны друг другу.
Изоморфизм векторных множеств различной природы позволяет переносить
любой результат, вытекающий из свойств линейных операций для данного
множества, на произвольное другое изоморфное множество. При этом
конкретная природа как самих элементов, так и операций над ними может
быть совсем различной.
Существенным свойством линейных пространств является наличие в них
подпространств.
Подпространством R' пространства R называется такая совокупность
элементов из R, которая сама образует линейное пространство относительно
определенных в R операций сложения векторов и умножения вектора на число.
Примером подпространства в множестве векторов обычного трехмерного
пространства является произвольное множество компланарных векторов,
образующих двумерное векторное пространство, соответствующее плоскости в
реальном пространстве. Обратим внимание, что далеко не всякая
совокупность элементов линейного пространства образует подпространство.
Очевидно, чтобы последнее имело место, необходимо, хотя этого и не
достаточно, чтобы указанная совокупность внлючада нулевой элемент.
JQ6
Ясно, что размерность любого подпространства не превосходит размерности
своего пространства.
Существует весьма простой общий способ выделения из любого линейного
пространства R некоторых подпространств. Выберем в R произвольную
совокупность векторов а, Ь, с, ... и составим из них множество
всевозможных линейных комбинаций. Легко видеть, что полученное таким
образом векторное множество образует
определенное подпространство, порожденное векторами а, Ь, с,----
Подпространство n-мерного пространства, порожденное
ft линейно-независимыми векторами ех, е2 ек, является
ft-мерным (векторы elt е2, ..., ек образуют базис этого подпространства).
Очевидно, что любое n-мерное пространство содержит подпространства всех
меньших измерений.
Простейшее подпространство-это нулевое, содержащее один нулевой элемент.
