Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет простому уравнению Лежандра (12).
Следовательно, шаровые функции (27) принимают вид;
Tt(f, 0) = г'!Pt (cos 0), (31)
и общее решение (28) запишется так;
tx>
T(r, 0) = 2С^ (COS0). (32)
1=0
147
Дело свелось, следовательно, к такому выбору коэффициентов этого ряда,
чтобы при г->-а последний член сходился к /(0):
CD
Т |л=а = 2 Cla'Pl (cos 0) = / (0). (33)
1 = 0
Ранее было отмечено, что полиномы Лежандра образуют ортогональное
семейство функций и что поэтому любую функцию / (х) можно разложить в ряд
по этому семейству:
/ (*) = 2 fi Pi (х), (34)
/=0
где коэффициенты Фурье-Лежандра определяются по формуле:
fi=2JT1]Hx)pl(x)dx. (35)
-1
Сопоставляя (33) в (34), заключаем, что
Ct , (36)
где
п
ft =^!-J/(0)P<(cos0).sin0d0. (35')
о
Подставляя (36) в (33), получаем окончательное решение задачи в виде
функционального ряда:
а?
T(r,Q) = Y.fi{i)lPi(^sQ). (37)
1=0 4 /
Г л а в a V.
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА
До сих пор мы решали дифференциальные уравнения в частных производных
методом разделения переменных. Другим распространенным в математической
физике методом решения таких уравнений является метод функций Грина. Он
состоит в том, что сначала находят некоторое специальное решение задачи
того же типа, а затем через него в квадратурах выражают интеграл исходной
задачи.
Ниже мы подробнее ознакомимся с сущностью этого метода на конкретных
примерах.
Ив
§ 1. Метод Грина решения краевых задач
Пусть нужно найти функцию <р (л:, у, г), удовлетворяющую в области V
уравнению Лапласа:
Дф = 0 (1)
и удовлетворяющую на границе этой области условию:
ф|s = f(x', у', г'). (2)
Возьмем внутри области V некоторую точку Ж" и окружим ее маленькой сферой
s объема v и радиуса г" (рис. 44). Применим теперь формулу Грина (51, ч.
II) к области V'=V-v, ограниченной двумя поверхностями S и s:
((11>Д ф - фДф)&V = ф ^ ф ds +
+#(¦?-*?)*• <3>
S
Поскольку эта формула справедлива для произвольных функций ф и ф, то
выберем в качестве ф искомую функцию ф {х, у, г), удовлетворяющую
условиям (1) и (2), а под ф будем понимать так называемую функцию ГpunaG,
которая определяется равенством:
G (х, у, z)=^r + H (х, у, г), (4)
где г - расстояние произвольной точки от М0. Функция Н(х, у, z)
удовлетворяет в области V уравнению Лапласа:
ДЯ = 0 (5)
и принимает па поверхности S=S(x', у', г') значения:
Н(х', у', z') = H(7') =-L, (6)
где г'-расстояние точек поверхности S от точки М0.
Так как 1 /г удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, отличных от
Л4о(г = 0), то согласно (4) и (5), функция ф = G (х, у, z) является
решением уравнения Лапласа Дф = 0 в области К', причем на поверхности S в
соответствии с (4) и (6):
ф|5 = 0 (*', /, г') = 0, (7)
149
Поэтому соотношение (3) принимает вид:
f iidS +§ ж- f ж)ds =°-
S s
Поскольку согласно (2) ф|5 = /(х', у', г'), то это равенство можно
записать так:
't-)ds=$nn?dS. (8)
s S
Вычислим теперь левую часть (8), которую для краткости обозначим через /:
I==§{G^~ Уж)й8- (9)
S
Подставляя сюда значение функции Грина G из (4) и вспоминая, что радиус
малой сферы s есть /•", разобьем I на два интеграла 1г и /2:
'=A+/.=/{R+")lbRR+Д)Ь ,10>
S
/ ?[нд(Р дН\и I
arjds- J
Применим теперь ко второму интегралу /2 формулу Грина: /а = J (ЯАф - (p-
AH)dy.
V
Но согласно (1) и (5) функции ф и Н удовлетворяют уравнению Лапласа во
всей области V, в том числе и v. Поэтому /2 = 0 и в (10) остается одно
слагаемое:
/=WR-S-¦RR)}*- <")
S
Так как г0 есть радиус сферы s, т. е. является величиной постоянной, то
Iss-k$ifcds-$ vwi-k)*5- <12)
S S
160
Рассмотрим подробнее первое слагаемое:
(13)
По теореме о среднем
S
S
где {^-) - значение ^ в некоторой точке сферы s. Поэтому выражение (13)
обращается в малую величину
которая при стягивании сферы s к точке Мд стремится к нулю
пропорционально г0:
Теперь обратимся ко второму слагаемому в (12):
то применение теоремы о среднем к интегралу (14) дает:
где <ср>-значение функции ср в некоторой точке сферы s. В пределе при г0-
*0 величина <ср> стремится к значению функции ср в точке М0.
Следовательно,
Вернемся теперь к исходному равенству (8). Поскольку интеграл в правой
части распространяется по поверхности S, он не может зависеть от радиуса
малой сферы s. Следовательно, и левая часть не зависит от г0. Подставляя
(15) в равенство (8), получаем:
(14)
Поскольку
ф (77) ds =4-4лг0<Ф> = 4л <ф>.
(15)
или
Ф (M") = -h$f(b^;dS. (16)
s
Так как М0 - произвольная точка области V, то эта формула представляет
собой решение рассматриваемой задачи, если известна функция Грина G.
Иными словами, задача свелась к определению функции Н (х, у, г),
удовлетворяющей условиям (5) и (6):
АН = 0 и Я|, = - - .
Т О
Ясно, что, вообще говоря, последние не намного проще исходных условий (1)
и (2). Однако для некоторых типов областей V и ограничивающих их
поверхностей S функция Грина может быть легко построена и в этих случаях
искомое решение сводится к вычислению интеграла в правой части (16).
