Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
квадратов его координат:
(х)2 = (х, х) = xl + xt + ...+** = (5')
i
Отсюда для длины вектора получаем формулу:
| X | = ]/"*? + *2 +¦•• + ХП' (9)
170
§ 4. Комплексное линейное пространство
До сих пор мы имели дело только с пространствами над полем действительных
чисел. В квантовой механике особое значение имеют линейные пространства
над полем комплексных чисел-комплексные векторные пространства.
Все аффинные свойства действительного пространства, рассмотренные в § 1,
справедливы и для комплексного пространства. Незначительные изменения
появляются только при введении метрических понятий.
Комплексное пространство U называется евклидовым
-> ->
(или унитарным), если каждой паре векторов х, у из U
поставлено в соответствие комплексное число (х, у), называемое скалярным
произведением, и выполняются следующие аксиомы:
-> -> -> ->
1) (х, у) = (у, х)* (значок* означает комплексное сопряжение),
2) (U, у) = Ч*. у), ^
3) & + *" У) = (х 1, у) + (х" у),
-> ->
4) (х, х) есть действительное положительное число. Легко видеть, что эта
система аксиом отличается от
системы аксиом действительного евклидова пространства только первой"
аксиомой, согласно которой при перестановке векторных сомножителей
скалярное произведение меняется на комплексно-сопряженное. Это отличие не
ведет к глубоким различиям, но некоторые особенности
появляются. Так, в то время как в действительном про--> -> -> ->
странстве {х, Ху) = Х(х, у), в комплексном евклидовом -> -> -> ->
пространстве {х, 'Ку) = Х*(х, у).
Основные метрические понятия для унитарного пространства вводятся
совершенно аналогично тому, как они вводятся для действительного
евклидова пространства. Длиной вектора называют величину
\х\=+У(х, х).
Так как скалярное произведение двух векторов, вообще говоря, комплексно,
то нет смысла определять угол между векторами: рассматривают только
случай, когда векторы ортогональны.
171
Векторы х и у называют ортогональными, если
(х, у) = 0. Очевидно, что и (у, х) = (х, у)* = 0.
Вся теория действительного евклидова пространства легко переносится на
унитарное пространство. Если, на-
пример, векторы х и у характеризуются в п-мерном унитарном пространстве
комплексными координатами (х" х2, ..., х") и (уи уг уп), то скалярное
произведение этих векторов равно
(*. y)~2j xiyi ¦
i
В частности, для скалярного квадрата имеем: х2 = (х, x) =2*i2-
i
Глава II.
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Линейные операторы и операции над ними
Ранее мы уже встречались с понятием линейного оператора (аффинора) в
обычном евклидовом пространстве. Сейчас приведем общее определение
аффинного преобразования, или линейного оператора, в произвольном
(действительном или комплексном) n-мерном пространстве R.
/\
Линейным оператором А в пространстве R называют
"" о *
правило или закон, который каждый вектор х из R пе-реводит в вектор у из
этого же пространства
у=АСх) (1)
и подчиняется условиям:
А (х, + Х2) = % (*i) + А (**).
А (кх) = кА (х).
С геометрической точки зрения линейные преобразования замечательны тем,
что сохраняют аффинные свойства пространства. Среди линейных
преобразований особую роль играют простейшие операторы: а) единичный, или
172
тождественный оператор I, ставящий в соответствие каж-
/*ч-> -+
дому вектору этот же самый вектор, т. е. 1х = х\'б) ну-
. /Ч ¦+
левой оператор 0, который любому вектору х сопостав-
/Ч
ляет нулевой вектор-0х = 0; в) оператор подобия Л,
-*
сопоставляющий всякому вектору х новый вектор, отли-чающийся от х одним и
тем же численным множите-
/Ч-*
лем-Ах -Хх (где л = const).
Познакомимся теперь.с количественной характеристикой различных линейных
операторов.
Пусть ev е2, ..., еп - некоторый базис в п-мерном
/Ч
пространстве R и А - линейный оператор в R. В резуль-
/Ч -*
тате действия аффинора А на. базисные векторы et полу-
чатся некоторые векторы е\, которые можно рассматри-вать как новый базис:
е\ = Aet.
Нетрудно убедиться, что всегда существует линейный
/Ч
оператор А (и притом только один), переводящий базис е1;. .еп в базис
е[.. .е'п.
Положим, что векторы е\ выражаются через векторы
.
старого базиса е( с помощью соотношений:
е1-Щ.1е1+..............+ашел.
-> ->
еп - (r)п1е1 "Ь...........аппеп > J
или (в сокращенной записи):
(3)
е/ = 2 а^ек. (3')
k
Легко видеть, что преобразование (3) удовлетворяет условиям (2) и
является поэтому аффинным. С точки зрения алгебры отличительной
особенностью этих преобразований является линейность функций, связывающих
старые и новые базисные векторы. Коэффициенты aik определяют
173
я-рядную матрицу:
а11а12 ' ¦а1п
А = ^21^22 ' ¦(r)2 П
^П1^П2 • ' ¦ (r)пп
(4)
которая называется матрицей линейного оператора А. Таким образом, в
заданном базисе elt е2, ..., еп каж-
^ч
дому линейному оператору А соответствует определенная матрица Л =
||а/Й||. И обратно-каждой матрице А
/\
отвечает некоторый линейный оператор А, определяемый формулами {3) или
(3').
Иными словами, аффинные преобразования можно описывать с помощью матриц и
