Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
называется частотой основного тона', тоны кратных частот называются
гармониками или обертонами. Частота тем выше, чем короче и легче струна и
чем больше ее натяжение Т. На рисунке 34 изображены картины колебаний
основного тона (м = 1) и первых двух обертонов (п = 2 и п = 3). Таким
образом, ряд (37) является суммой или суперпозицией стоячих волн с
кратными частотами.
117.
Пучность
Пучность Пучность
Пучность Пучность Пучность
Рис. 34
Как известно, звуки подразделяют на музыкальные, или нотыг и
немузыкальные, или шумы, ноты порождаются периодическими, а шумы -
непериодическими колебаниями. В излучаемой музыкальным инструментом ноте
всегда присутствует несколько тонов-основной тон и обертоны. Обычно
амплитуды гармоник быстро убывают с ростом их номера. Поэтому решающий
вклад в ноту вносит основной тон. Обертоны придают звуку тот или иной
тембр. Следовательно, физически полученное решение, которое мы запишем
теперь в виде:
означает, что струна излучает музыкальную ноту, частота
которой равна ~; определяемая начальными условиями
совокупвость амплитуд Alt Л2, ... характеризует спектр (тембр} этой ноты.
§ 3. Решение задачи Дирихле для круга
Мы уже отмечали, что различные физические процессы с математической точки
зрения могут быть совершенно подобными. Поэтому в математической физике
стремятся разработать единые методы решения задач, объединяющие множество
аналогичных проблем.
СО
п= !
С таким положением мы уже сталкивались на примере задачи Коши для
волнового уравнения. Другой тип(c)"# задачей такого рода является задача
Дирихле: найти фущгщц U (х, у, г) (непрерывную вместе со своими
производными второго порядка в заданной области), -удевяетнвржвщую
уравнению Лапласа AU =0" сражающуюся на пввермюсти S в заданную функцию
координат.
Рассмотрим для простоты и определенности следующий частный случай задачи
Дирихле: найти распределение температуры Т (х, у) для точек круглой
пластинки, если на ограничивающей ее окружности G поддерживается
неизменная температура, -мдаииым "бразом зависящая от координат
окружности. Иными словами, необходимо найти регулярную функцию Т (х, у),
удовлетворяющую в точках круга уравнению ДТ = 0 и краевому условию Т\o =
f(x, у).
Ясно, что задачу проще всего решать в полярной (плоской цилиндрической)
системе координат (р, ф). Согласно гл. III, ч. I, уравнение Лапласа в
полярной системе координат имеет вид (см. гл. III, ч. I):
?!L_L- - 4-- ^Т
ф2 "т" р др "т" р2
1 1 U1 1 V-1 ""
^+--хг+тл^г=°- (38)
Соответственно краевое условие принимает вид:
Г|р=в = /(Ч". (39)
Согласно методу Фурье будем искать решение (38) в виде:
Г(р, ф) = Д(р)Ф(ф). (40)
дТ д2Т д-Т
Определяя отсюда и подставляя их в (38), получим:
R"+jR') Ф(Ф)+-^Ф"(Ф)=0. (40')
Умножим последнее равенство на р2/#Ф:
-^-(р2Д" + рД') = Ф7Ф(<Р).
Поскольку по обе стороны знака равенства стоят функции от различных
независимых переменных, то такое равенство возможно только тогда, когда
обе части равны одной и той же постоянной, которую
обозначим через - Я2. Тогда мы приходим к двум Обыкновенным
дифференциальным уравнениям:
р2Я" + рЯ'- А,аЯ = 0, (41)
Ф" + ^2Ф=0. (42)
Общий интеграл линейного уравнения (42) нам хорошо знаком:
Ф(ф) = A cos ^ф+Д sin tap. (43)
Приступим к решению нелинейного уравнения (41). Для этого прежде всего
используем так называемое условие цикличности, характерное для
криволинейных координат. Оно заключается в том, что и граничная функция /
(ф), и искомое решение U (р, ф) должны быть периодическими по переменной
ф, т. е.
/ (ф + 2я) = f (ф)
и
U {р, ф + 2л) = (J (р, ф).
119
Отсюда, очевидно, следует, что и функция Ф (<р) должна удовлетворять
условию цикличности:
Ф (ф + 2я) = Ф (ф). (44)
Но так как Ф(ф) есть линейцая комбинация функции sin Аф и совАф, то для
выполнения условия (44) должны выполняться равенства:
sin (Аф+А-2д) = sin Аф, cos (Аф +А-2я) = cos Аф.
Параметр А должен, следовательно, быть целым числом п (где п = 0, 1, 2,
...). С учетом этого обстоятельства получаем согласно (43) множество
функций Ф (ф):
Фп (ф) = Л" cos шр + В" sin шр. (43')
Подставляя теперь в (41) вместо А2 его значение па, получаем:
ра/?' + рЯ' - яаЯ = 0. (41')
Это-дифференциальное уравнение типа Эйлера, характерным свойством
которого является равенство у всех его членов произведения степени
независимой переменной на порядок производной.
Уравнение Эйлера решается сравнительно просто. Его частное решение ищут в
виде:
R = PS,
где s - пока произвольная постоянная. Найдя производные R' = sps~l и /?"
= s(s-1)р*~2, подставляем их в (41'). После сокращения на общий множитель
р*, приходим к равенству:
s(s - l) + s-я2 = 0
или
S2 = H2.
Отсюда
5= ± п.
Таким образом, для каждого значения коэффициента п в (41') имеется свое
сбщее решение:
Ял(р) = Спрп + Опр-".
Но так как нас интересуют только регулярные функции, то следует положить
Д," 0 (в противном случае в точке р = 0 величина Rn обратится в
бесконечность).
Следовательно, удовлетворяющее физическим условиям решение уравнения (4Г)
