Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
имеет вид:
Яп(р) = С"р". (45)
Перемножая теперь R" (р) и Ф" (ф), мы согласно (40) получим
дискретную совокупность функций:
Тп(р, ф) = (М"созшр + Л,пБШ лф)рп (46)
(где Мп -- АпСп, N" - BnCn), удовлетворяющих исходному уравнению (38), а
также'естественным физическим условиям периодичности (однозначности) и
регулярности. Чтобы еще удовлетворить граничному условию (39), составим
бесконечную сумму:
00
Т (р, ф) = 2 W" cos n(P + sin П(Р) Р" (47)
п-0
120
и выберем коэффициенты Мп и Nn таким образом, чтобы при р=а этот ряд
сходилйя к фуйкции f (ф):
00
2 (Мп cos пц> + Nn sin пф) an - f (ф). (48)
л=о
Из теории рядов Фурье известно, что практически любую функцию /(ф) можно
разложить в ряд по синусаиЯ йосинусам:
00
Дф) = 2 U"1 cos + f" ' 8in Л<Ю> (49)
л = О
где ffP и - коэффициенты Фурье при соответствующих косинусах
и синусах ряда, причем
2я
= /(ф) COS Пф dcp,
О
2я
/nS> = ^-J /(ф)э1ппфйф.
о
Нулевые коэффициенты определяются следующими формулами:
2я
/ (ф)
Сопоставляя равенства (48) и (49), заключаем, что для выполнения краевого
условия (48) нужно положить:
Мпап = fn , Nnan = fn)•
Таким образом, решение задачи Дирихле для круга может быть представлено в
следующем виде:
T=iff^+-ki (?)*х
О п=\
(Г Т )
X 4 сое Пф \ )(ф) cos пф dtp -j- sin Пф \ / (ф) sin пц> dqi у . (80)
I О о J
§ 4. Стационарное распределение температуры в прямоугольном брусе
Рассматриваемая задача формулируется так: одна из граней длинного
прямоугольного бруса (рис. 35) поддерживается при заданной температуре,
на остальных гранях Т = 0; найти установившуюся температуру в
произвольной точке внутри бруса.
Из симметрии бруса ясно, что температура от Z не зависит и
что можно ограничиться рассмотрением сечения в плоскости XOY.
Задача состоит в определении функции Т = Т (х, у), удовлетворяющей
121
Рис. 35
уравнению стационарной теплопроводности :
ЛТ- д*т J- д*т О "П
АТ=-ш+-д^ (51)
и двум парам краевых условий::
Т |*=о = 0> Т \х=а = f (У)> (52)
Т |г=о = 0, 7|у=ь=0.(53)
Как обычно, ищем решение в виде:
Т (х, у) = Х (х) Y (у). (54)
Дифференцируя (54) дважды по х и у и подставляя в (51), получаем:
X"Y + XY" = 0.
Умножая последнее равенство на 1 /(XY), разделяем переменные:
Х'Ч X=-Y'/Y.
Приравнивая обе части постоянной X2, приходим к обыкновенным линейным
дифференциальным уравнениям:
Х"-Х2Х = 0, (55)
Y" + X"Y = 0. (56)
Решение уравнения (56) мы уже неоднократно записывали:
Y (у) =С cos Xy + D sin Ху. (56')
Что касается уравнения (55), то его решение, как известно,
отличается только тем, что вместо тригонометрических оно
содержит
гиперболические функции:
X (х) = A ch Ху + В sh Ху. (55')
Выберем теперь постоянные А, В, С, D и к так, чтобы
удовлетворить граничным условиям (62) и (53). Удобнее
начать с (53) как
более простых. Итак,
У(0) = С = 0.
Следовательно,
У (у) ~D sin Ap. (56)
Наложив второе граничное условие по у.
У (b) - D"in4?> = 0,
приходим к выводу, что
kb --пя,
где п = 1, 2, 3, Отдода
122
Подставляя эти дискретные значения параметра' X в (55'), получаем
множестве функций X (х) и Y (у):
v . , плх . в , плх
Хп Лп ch ^ -|-5nsh ^ ,
" п . плу
Yn = Dn sin .
Перемножив теперь, Хп(х) на Yn(y), находим^ совокупность функций Т"(х,
у), удовлетворяющих уравнению (51) и краевым условиям' (53):
/п / . ( , плх . . плх\ . плу
Тп(х,у)={Мп ch-^-|-JV"sh - J sin-. (57)
Теперь осталось удовлетворить условиям (52). Но первому из них, а именно
7'|х_0 = 0) мы сразу же удовлетворим, положив Мп - 0. Таким образом,
совокупность функций:
" ... плх . плу
T" = N" sh-^-sin-^ (57')
удовлетворяет не только уравнению (51), но и трем (нулевым) краевым
условиям. Чтобы удовлетворить последнему граничному условию Т \x=a = f
(у), составим бесконечную сумму:
СО
плу
T(x,y)=J^Na sh^sin^ (58)
п= 1
и подберем коэффициенты N" таким образом, чтобы ряд при х-* а сходился к
функции / ({/):
Т\х = а =
Е., , пли плу , . ,
~ь~ ' в1П'"тг=/&)•
_ ... пла
Отсюда видно, что постоянные множители/v" sa-g~ должны являться
коэффициентами/" разложения в ряд Фурье функции f (у) по синусам:
a; i_ ляа ,
"sh~=^-
Отсюда
где
^55' <59>
s"-
/п=у j f(y) sin^dy.
b
о
Подставляя значения коэффициентов Nn в ряд (58), получаем окончательно:
со sh^f
Г(х,{/) = Х A-sin^. (60)
. пла о п= 1 sh -j- о
123
Полагая, как это обычно бывает, что этот ряд сходится достаточно хорошо,
можно утверждать, что его сумма удовлетворяет всем условиям задачи и
является ее решением.
§ 5. Охлаждение тонкой пластины
Пусть в начальный момент у пластины, толщина которой значительно меньше
длины и ширины (рис. 36), температура была распределена по закону Т \t-o
= F (х). Охлаждение пласТийы происходит по закону Ньютона, т. е. при х =
± а
дТ 1 дх '
а Т.
Определим температуру произвольной точки в любой повледующий момент
времени.
Сформулируем задачу аналитически: необходимо найти функцию Т (х, у),
удовлетворяющую одномерному уравнению теплопроводности:
дТ
Ж
_к_дЧ ср дх2
и условиям: начальному и граничному
