Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 d v2___ Z"
ptf dp > р2 Z (г) '
Мы получили равенство двух функций от различных аргументов. Приравнивая
обе части этого равенства постоянной к2, получаем два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
+[*¦-¦?]"=о. <6>
Z"-k2Z = 0. (7)
Ясно, что совокупность уравнений (4), (6) и (7) эквивалентна исходному
уравнению Лапласа (1) и позволяет в принципе определить функции Ф (cp), R
(р), Z (z), а следовательно, и искомую функцию U,
которая согласно (2)
и (5) равна:
U (р, ф, z) = tf(p)Q(cp)Z(z). (8)
Поскольку дифференциальные уравнения (4) и (7) являются хорошо известными
линейными и однородными уравнениями второго порядка, то их общие решения
можно сразу же написать:
Ф (ф) = A cos vcp + В sin vcp, (9)
Z(z) = CchkzJr Dshkz. (10)
Таким образом, задача сводится к решению дифференциального уравнения (6)
с переменными коэффициентами. Его, очевидно, можно представить так:
<6->
Если ввести новую независимую переменную х - кр, то
(6') несколько упрощается и принимает форму так назы-
ваемого уравнения Бесселя:
S+i-ar+(1-5)"=°- (>i)
Интегралы этого уравнения Rv (х) называются цилиндрическими функциями или
функциями Бесселя.
Перейдем теперь к рассмотрение методов определения решения уравнения (И),
132
§2. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
Запишем уравнение Бесселя в виде:
Ун + ^У' + ^~^)у = 0 (12)
и будем искать его решение в форме ряда:
y = xs ^ akXk= S akxk+s. (13)
k = 0 k - 0
Первая и вторая производные этого ряда запишутся так:
¦ (i3'>
А=0
У"= 2 ak(k + s)(k + s- l)xk+s~2. (13")
А = 0
/ v2 \ 1
Умножим (13) на ( 1 И и (13')-на- и полученные
выражения вместе с (13") подставим в (12):
akxk+s~2 [(&-fs) (&+s- 1) + (& +s)-v2] = 0.
k=0 k=0
Произведя сокращение на xs~2 и упрощения в квадратных скобках,
преобразуем это тождественное равенство
следующим образом:
'2lakxk+s = -2а***[(& + 5)2- v2l-
А = 0 ft=0
Ряд слева начинается с х2, а ряд справа-с х в нулевой степени. Отсюда
следует, что коэффициенты перед х9 и х1 равны нулю:
ао (s2 - v2) = 0, (14)
ai[(l+s)2 - v2] = 0. (14')
Что касается коэффициентов при более высоких степенях х, то они должны
удовлетворять рекуррентному равенству:
аА_а = -aj(& +s)2 -V2], (15)
где & = 2, 3, ... .
Из (14) вытекает, что s = ±v и ^ = 0. Положим сначала, что s - -)-v,
тогда согласно (15)
ak==~~'k(H+2v) ' (15 ^
где k = 2, 3, ... . Поскольку = 0, то и все последующие нечетные
коэффициенты а3, ай, а7, ... также
133
Рис. 40
равны нулю. Что касается четных коэффициентов, то их легко выразить через
а, по формуле (15'):
аг =
а, =
2 (2 + 2v) 22 (1 + V) '
а2 "d
'* 4(4+2v) 24-2 (1 + v) (2 + v) '
a2k = -------------------------- . (16)
2 22kk\ (1+v) (2 + v) ... (fe + v)
Подставляя (16) в (13), получаем частное решение уравнения Бесселя (12):
у1(х) = 1ч(х) = '? --------(-l)**2*+v----------- (17)
*Го 22ft.fe!(l+v)(2 + v) ... (Л + v)
С помощью признака сходимости Даламбера можно показать, что ряд (17)
сходится при любых значениях х. Характеризуемая им функция 7V (я)
называется бесселевой функцией первого рода порядка v.
Бесселевы функции первого рода Iv(x) хорошо изучены, для них составлены
таблицы.
При 1 функцию Бесселя можно заменить ее асимптотической формулой:
/"(*)" ]/^cos(x-^ - i), (18)
из которой видно, что для больших х кривая Iv(x) приблизительно
представляет собой затухающую косинусоиду (на рисунке 40 приведен график
бесселевой функции нулевого порядка). Ясно, что функции 7V (л) имеют
бесчисленное множество корней (где k= 1, 2, ...), для которых М?5Р) = 0.
134
Итак, функция Бесселя первого рода Iv(x) является одним частным решением
уг(х) уравнения (12). Чтобы написать его общее решение, нужно знать
второе линейнонезависимое частное решение у2 (х). В теории бесселевых
функций показывается, что в том случае, когда параметр v является не
целым числом, это второе частное решение можно получить, положив s = -v:
Это тоже бесселева функция первого рода, но отрицательного порядка, ее
график подобен затухающей косинусоиде.
В случае нецелочисленности v общий интеграл уравнения Бесселя имеет вид:
Однако, если v есть целое число (v - n), то функция /_" (х) отличается от
/" (х) только постоянным множителем (-1). Иными словами, /" (х) и /_"(х)
линейнозависимы и из них общий интеграл нельзя составить.
В этом случае в качестве второго независимого частного решения выбирают
функцию Бесселя второго рода Yп (х), которую еще называют функцией
Неймана.
Мы не будем строго выводить выражение для Yп (х), а ограничимся ее
асимптотической формулой, справедливой при х^>1:
м ~ VТх(tm) (*-т-т) • (20)
Ул
У2 (¦*') - 1 -v - а0
(17')
У (х) = CJV (х) + C2/v (х).
(19)
0.5
О
гЭх
133
Наиболее существенное свойство функции У" состоит в том, что при х->0
функции Неймана любого порядка стремятся к бесконечности:
У"(0) = -оо. (20')
На рисунке 41 приведен график функции Неймана нулевого порядка. Таким
образом, при v = n общий интеграл уравнения Бесселя (12) выражается
следующей формулой:
