Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений обыкновенных и в частных производных - из-за чрезвычайной
общности общего интеграла уравнения в частных производных, как
102
правило, очень трудно из него выделить нужное конкретное решение.
Поэтому в математической физике изучают главным образом методы
непосредственного нахождения частных решений, удовлетворяющих
определенным начальным и граничным условиям.
Следует тем не менее иметь в виду, что общий интеграл несет важную
информацию о процессе, описываемом дифференциальным уравнением в частных
производных, и эта информация может во многих случаях оказаться весьма
полезной и для получения ответа на данную физическую задачу.
В заключение настоящего параграфа покажем, как
можно найти общее решение уравнения (30). Полагая, что коэффициент сф 0,
введем новые независимые переменные:
Ъ = х + \у, т]=х + к2у, (31)
где и пока произвольные, но различные (иначе Jj и Ti не будут взаимно
независимы) числа.
Так как
ди ди д\ , ди дц ди . ди
дх д'Ё, дх ' дц дх дц
и
ди ди д% ди дц . ди . " ди
ду д% ду ' дц ду 1 2 дц '
то имеет место соответствие
- -Л- д - I -л.1 д
дх * д% "т- дц ' ду * 1 2 дт) *
Поэтому
д2и д { ди \ _ { д , д \ { ди_ ди ^ _ д2и
, 0 д2и , д3ц
д^2 ~дх [ дх I- U? *1 А д% + дц ) ~ д?+г ЗЩ+
д2и ( д д \ Л ди . ди \ . д2и .
' + Зп дР + лГ ) - -Ш +
дх ду V дг] ) \ 1 1 2 дг\ J 1 dg!
+ (К + К)^ + К$.
W=(Kl~k+X2 w) =
+ ^2Ш+^-
Умножим эти вторые производные соответственно на а, Qb и с и затем их
сложим. Тогда левая часть уравне-
103
ния (30) примет вид:
+ (32)
где
А = а + 2 Ьк1 + сХ1,
В = $-)- b (Х2 + Я2) + о^1^2> (32')
С = а + 2Ь%2 + сЫ.
Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение сЯ2 +2ЬЯ +а = 0.
(300
Его корнями являются
^1,2 :
Ь ± \rW-
В зависимости от значения дискриминанта D = b2 - ас возможны три случая:
1) если D > 0, то корни Я* и Я2 действительны и раз-
личны; уравнение принадлежит к гиперболическому типу;
2) если D < 0, то корни \ и Я2 комплексны и раз-
личны; уравнение (30) является эллиптическим;
3) если D = 0, то корни ^ и Я2 действительны и рав-
ны между собой; уравнение называется параболическим.
Допустим сначала, что ИфО. Тогда выберем в качестве параметров Я, и Я2 в
(31) следующие значения:
, - b + D . -b - D
Л1 - ,, > Л2 - ,,
Тогда коэффициенты Л и С в (32) обращаются в нуль, в то время как 5=^0.
Поэтому уравнение (30) в переменных | и г) принимает простейшую форму
(28):
ffhi _ п
Общее решение этого уравнения нам известно:
Ы = Ф(|) + ^(Т1).
Возвращаясь к старым переменным х и у, получаем окончательно:
и = Ф (х + Я4у) + F {х + Я2у). (33)
В том случае, когда уравнение (30) является параболи-
104
ческим, т. в.
D = b2 - ас = О, примем Хг = - у , а %2- произвольным. Тогда согласно
(32')
А = О, Сф О, а коэффициент В равен нулю при любом Х2. Такрм образом,
уравнение (30) сводится к более простому (29):
дЧ =0
Его общий интеграл, как показано было выше, имеет вид* " = Т1Ш + Ф (?)•
Возвращаясь к первоначальным переменным х и у, получаем общий интеграл:
u = (x + K2y)f (х + КУ) + Ц(х + Кф), (34)
который также содержит две произвольные функции / и ср.
В следующем параграфе приводится пример, в котором удается получить
частное решение из общего.
§ 7. Колебания бесконечной струны
Пусть совершающая колебания упругая струна является столь длинной, что ее
можно считать бесконечной. Требуется найти смещение любой точки в
произвольный момент времени, начальная форма струны и скорости ее точек
заданы.
На языке математической физики эта задача формулируется следующим
образом' найти функцию и - и (х, /), удовлетворяющую волновому уравнению:
д2ц "г д2ц /ок\
dt2 дх'2
и начальным условиям:
и|*-о = ф(*). -fj- |#=о = "Ф (*)• (36)
Поскольку струна является бесконечной, то граничные условия не нужны.
Такая задача более проста и является частным случаем так называемой
задачи Коши.
Начнем с нахождения общего интеграла уравнения (35). Запишем это
уравнение в следующем виде:
0-4^=°- <35')
105
Следуя методике решения уравнения (30), рассмотренной в предыдущем
параграфе, "ьптишем коэффициенты уравнения (35):
а = 1, 6 = 0, с =-1/у2.
Д*скряямнянт D =Ь2-41с = -^->0, так что уравнение
принадлежит к гиперболическому типу. Подставляя значения этих
коэффициентов в -квадратное уравнение (30'), получаем:
-ДгР + 1=о,
откуда Я. = ± у. Вводя теперь новые переменные:
I =Х+ %-J, =X + vt) Т) = x-{-'k2t = х-vt, приведем уравнение (35) к
простейшему виду:
Таким образом, искомая функция и (х, t) согласно (33) предыдущего
параграфа равна сумме двух произвольных функций:
U =<$(x + vt) + F(x-vt). (33')
В указанном виде решение волнового уравнения было впервые получено
Даламбером. Выясним его физический смысл.
Примем для простоты, что Ф = 0 и смещение колеблющихся точек определяется
соотношением:
U1 = F(x-vt). (33")
Возьмем произвольную точку х. В момент времени ^ = 0 смещение этой точки
равно F (х). Легко видеть, что точно
такое же смещение будет в более поздний момент t >0
у точки с координатой x-\-vt. А это значит, что отклонение и перемещается
