Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 32

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 56 >> Следующая

представляет собой решение нашей задачи.
В заключение сделаем два замечания.
1. Для того чтобы ряд (20), строго говоря, являлся определенным частным
решением дифференциального уравнения (1), он должен сходиться и притом
так, чтобы его можно было почленно дифференцировать дважды, функция ф
(дг) должна удовлетворять условиям Дирихле и пр. Однако в конкретных
физических задачах все эти условия обычно выполняются.
2. Хотя решение (20) содержит сумму бесконечно большого числа слатаемых,
при решении реальных физических задач в большинстве случаев можно
ограничиться несколькими первыми членами.
§ 2. Колебания струны конечной длины
Решим методом Фурье задачу о смещениях точек закрепленной с обеих концов
струны, совершающей колебания с заданными начальными условиями. Иными
словами, найдем функцию U (дг, t), удовлетворяющую волновому уравнению:
d2U ,d2U /01.
dt2 ~V дх2 ' а также краевым и начальным условиям:
U U=o = 0, tf|*=i = 0, (22)
tf|t=o = 4> М> Ж , =^(х)- (23)
Ul t = о
Как и в предыдущем параграфе, ищем решение в виде произведения двух
функций:
U (х, t) = X(x)T(t). (24)
114
Взяв вторые частные производные от U по х и t и иод-ртавив их в уравнение
(21), получим равенство:
XT" = v*X"T.
Разделив его на произведение v2XT, мы отделим переменные:
Как уже говорилось в § 1, равенство (25) возможно только в том случае,
если обе части его порознь равны одной и той же постоянной. Обозначив
последнюю через -X2, приходим к двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям второго порядка:
где А, В, С, D и X-произвольные постоянные. Их нужно выбрать такими,
чтобы удовлетворить условиям (22) и (23). Начнем с граничных условий.
Ясно, что искомое решение будет им удовлетворять, если функция X (х)
обратится в нуль при х - 0 и х = 1. Наложив сначала требование, чтобы X
(0) = 0, мы согласно равенству (28) получим:
X (0) = A cos 0 -f В sin 0 = 0,
откуда найдем, что А - 0. Поэтому выражение (28) упростится:
X (х) = В sin Хх. (28')
Теперь потребуем, чтобы Х(/)=0, т. е.
В sin X/ = 0.
Отбрасывая тривиальное решение В = 0, приходим к трансцендентному
уравнению для определения X:
X" + Х2Х (х) = 0, Т" + v2X2T (t) = 0.
(26)
(27)
Общие решения их известны:
X =А cos Хх + В sin Хх, Т = С cos vXt -f D sin vXt
(28)
(29)
sin?J = 0.
Отсюда
XI = ля,
или
(30)
Д5
Подставляя (30) в (28'), получим множеотво функций от xi
Х" = Вп$тп-^, (31)
обращающихся на концах интервала (0, I) в нуль и удовлетворяющих
уравнению (26).
Аналогично, подставляя в решение (29) значение К из (30), получаем
семейство функций от i, удовлетворяющих уравнению (27):
Т" = С" cos t + D" sin t. (32)
Умножив (31) и (32), мы получим согласно (24) совокупность функций:
Un(x, i)=^Mncos^i+Nnsm^pt^sin~^ (33)
(где Мп = ВпВп и N" = BnDn), каждая из которых удовлетворяет уравнению
(21) и краевым условиям (22). Такими же свойствами, очевидно, будет
обладать любая линейная комбинация из частных решений Un. Чтобы
удовлетворить еще начальным условиям (33), составим бесконечный ряд
функций U", сумма которого запишется так:
vi . Vi / л л пли . . "т пли ,\ • плх U(x, t)=ZiUn = 2l[Mncos-rt + Nnsm--
t) sin^.
п~ 1 п
(34)
Если этот ряд сходится и его можно почленно дважды дифференцировать как
по х, так и по / (эти условия обычно выполняются), то сумма (34) будет
yдoвлetвopять уравнению (21) и условиям (22). Как ясно уже из предыдущего
примера, идея метода Фурье заключается в том, чтобы путем
соответствующего выбора коэффициентов Мп и Nn членов этого ряда
удовлетворить и начальным условиям (33). Это значит, что нужно
потребовать, чтобы при подстановке в (33) значения i = 0 выполнялось
равенство:
СО
U = (х). (35)
П= 1
Аналогично после подстановки / = 0 в выражение, полученное почленным
дифференцированием по времени суммы (34), должно иметь место равенство:
ди
dt
V4 nnv и ¦ плх , , ,
,=0 = 2- - А^я sin -J- = Ч" (*)• (36)
/1=1
116
Ясно, что для выполнения условий (35) и (36) постоянные Мп и Nn ^ должны
быть соответственно равны коэффициентам Фурье ф" и ф". Иными словами,
нужно принять
i
Mn = <f>n = j<\j<f>(x)sm'^dx (35')
О
и
I
Nn = ф" = - Г ф (х) sin ^ dx. (36')
п nnv Тл nnvJ т v ' I v ;
о
Подставляя указанные значения коэффициентов Мп и Nn в ряд (34), получим
функцию в виде следующей суммы ряда:
со
п / ,1 ( nnv , . I nnv Л . ппх
U(X, t)=Zd ( cos ~Г ^~ппи^>П Sln ~Т~ Ч 31П "Г • (37)
П= 1 '
В предположении, что имеет место сходимость и дифференцируемость ряда,
эта функция и является искомым решением. Рассмотрим его физический смысл.
Каждый член ряда можно представить в виде:
{~-t+ sin
ппх
~г•
В таком виде он описывает так называемую стоячую волну или собственное
.колебание: все точки струны совершают гармонические колебания с
собственной циклической
nnv " , . ппх
частотой (!)" = -, амплитудой ^"sin-j- и одинаковой
начальной фазой р"; они одновременно (синфазно) достигают максимальных
отклонений или положения равновесия (рис. 34). __
Наименьшая собственная частота = j-
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed