Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
условиям (2) и (3).
Прежде чем решать эту задачу, упростим уравнение (1), введя замену
переменной t:
- t = x. (4)
ср v '
Тогда, как легко видеть, уравнение теплопроводности принимает форму:
/14
дт ~ дх2 ' ^ >
а условие (2) запишется в виде:
Лт=о = ф(*). (2')
Что касается краевых условий (3), то они остаются неизменными. Будем
теперь искать функцию Т (х, т), удовлетворяющую уравнению (1') в виде
произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной:
Т(х, x) = X(x)Y(x). (5)
Тогда
дТ дгТ
Подставив эти выражения в (Г):
Х(х) Y'(х) = Xя (х) Y(т).
Разделив это равенство на XY, получим:
у, х"
Y (т) " Х(х) '
(6)
В левой части имеем функцию от времени т, а в правой - функцию от
координаты х. Такое равенство возможно
тогда и только тогда, когда обе эти функции равны одной
и той же постоянной, которую обозначим через-%2. Таким образом, уравнение
(6) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Х" + 'к2Х(х) = 0, (7)
У' + Х2У(т) = 0. (8)
Интегрирование этих линейных уравнений не представляет труда. Общее
решение уравнения- (7), кая известно, имеет вид:
X(x) = 4cosXx + BsinXx, (9)
где А и В - произвольные постоянные.
Что касается уравнения первого порядка (8), то оно решается элементарно.
Запишем его в виде:
4^- = - Х2У
dr
и разделим переменные:
dY А
-у-= - л2ат.
Беря интегралы от правой и левой частей, находим:
In У = - Х2т+1п С,
где-С - постоянная интегрирования. Произведя далее потенцирование,
получим выражение для функции У (т):
У{х) = Се-*-\ (10)
Ясно, что произведение X (х) У (т) будет удовлетворять уравнению (Г), но
необходимо еще выполнить условия (2') и (3). Так как на концах стержня
Т |*=0 = Т \х=1 = 0,
то в нуль должна обращаться в этих точках и функ-
ция X (х):
Х(0)=0, Х(1)=0. (3')
111
Чтобы удовлетворить этим равенствам, нужно соответствующим образом
выбрать постоянные А, В и К.
Начнем с первого равенства (3'). Подставляя в (9) значение jc = 0, имеем:
X (0) = A cos0 + 5 sin 0 = 0, (11)
отсюда заключаем, что следует выбрать Л=0.
Таким образом, функция Х(х) принимает вид:
X = 5sin^Jt. (9')
Потребуем далее, чтобы она удовлетворяла и второму условию (3'):
X (0 = 5 sin XI = 0.
Здесь имеются две возможности: либо В - 0, либо sin XI-0. Но решение 5 =
0 использовать нельзя, так как в этом случае получается так называемое
тривиальное решение X = 0 и Т - 0, не имеющее физического смысла.
Остается принять такое значение параметра X, чтобы sinM="0. Отсюда XI =
tin (где ti= 1, 2, 3 ..значение п=-= 0 исключаем, так как оно также
привело бы к тривиальному решению). Следовательно, постоянная X может
принимать ряд дискретных значений:
"= • (12)
Заменяя в (9') X его значениями, приходим к множеству функций:
%п (¦*) = 5" sin , (13)
где 5"-произвольные постоянные, каждая из которых удовлетворяет граничным
условиям (3'). Аналогично, подставляя (12) в (10), получим множество
функций К(т):
У п( т)=С"<Г^, (14)
где С" - произвольные постоянные. Произведения функций Хп(х) и У"(т)
тп(х> T) = M"sin-^e (15)
(где числа Мп = ВпС") есть функция двух переменных.
Ясно, что любая функция Т" (х, т) удовлетворяет как
уравнению (Г), так и краевым условиям (3).
112
Чтобы решить задачу, нам остается выбрать коэффициенты Мп таким образом,
чтобы удовлетворить еще начальному условию (2'). Анализ этого вопроса,
однако, показывает, что поскольку в начальный момент времени (т = 0)
функция Т" обращается в
Та(х, 0) = M"sin^,
то никаким выбором коэффициента Мп нельзя будет, вообще говоря,
удовлетворить начальному условию:
Тп |т=0 = ф (*)•
Имеется, однако, другая возможность. Так как любая линейная комбинация
частных решений дифференциального уравнения также удовлетворяет ему, то
согласно методу Фурье следует из решений (15) составить ряд, сумма
которого запйшется так:
(r) 00 П"Л"
Т(х, т)=?г" = ?Л1"зт^е~ "¦ \ (16)
п-1 п=1
Если этот ряд сходится и его можно дифференцировать, то он тоже является
решением уравнения (Г), удовлетворяющим краевым условиям (3).
Выберем теперь значения коэффициентов Мп таким образом, чтобы ряд (16)
при т = 0 удовлетворял начальным условиям (2'), т. е. чтобы имело место
равенство:
00
?M"sin^f = ф(х). . (17)
п- 1
Из теории рядов Фурье известно, что любая непрерывная 1 функция <р (х) (а
с такими функциями мы только и будем встречатьсй в математической
физике), заданная в интервале (0, I), может быть разложена в ряд Фурье:
CD
Ф (*) - ? Ф" "in Щ-, (18)
1
где ф"-так называемые коэффициенты Фурье, опреде-
1 Согласно теореме Дирихле функцию ф(*)- можно разложить в ряд Фурье и в
том случае, если она имеет конечное число точек разрыва.
ИЗ
ляемые по формуле:
фп = у j<P (je)sin-^dx. (19)
о
Сопоставляя равенства (17) и (18), мы должны заключить, что если в
качестве постоянных Мп брать коэффициенты Фурье ф", то условие (17)
выполняется и ряд
74*, т)= <Pnsin^e~~T (20)
п= 1
удовлетворяет не только уравнению (Г) и граничным условиям (3'), но и
начальным условиям (2'). Следов(r)-тельно, функциональный ряд (20)
