Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Общее решение получается из частных решений (73'), не суммированием, а
интегрированием по параметру А,:
СО 00
7'(х,т) = ^ T^dk= ^ [Л (A,) cos кх + В (A,) sin А,х] e~^t%dk. (74) о
о
Полагая, что интеграл (74) сходящийся и дифференцируемый по х и т (это
обычно имеет место), можно быть уверенный в том, что функция Т (х, т)
удовлетворяет уравнению (72). Но решение еще должно удовлетворять
начальному условию:
СО
^) т=о = ^ [Л (A,) cos кх -|- В (A,) sin кх] dk = f (х). (75)
о
Отсюда видно, что задача свелась к разложению произвольной функции f (х)
в интеграл Фурье, являющийся обобщением понятия ряда Фурье.
В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция
f(x), удовлетворяющая условию
00
J I/M [dx < оо,
- 00
может быть представлена в виде интеграла от гармонических функций cos кх
и sin кх, частота которых к пробегает непрерывную совокупность значений:
оо
[(х) = ^ [fc (к) cos kx + fs (к) sin кх] dk, (76)
о
где
00 00 /с(й,)=-L J f (х) cos кх dx, fs (X) J f (х) sin кх dx. (77)
- оо - оо
Подставляя значения Фурье-преобразований fc{k) и ft (к) в интеграл (76),
получаем:
оо Г +оо оо "1
/М = у-^ cos кх j f (I) cos -f-sin kx j f (g) sin d? dA,,
0 L - со - oo J
128
аи ао
f(x) = -^-^dX ^ / (?) (cos Хх cos -j-sin A,xsin A?) d|.
Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим
к иному выражению для интеграла Фурье:
03 00
f(x)=^dX j fG)coskG-.x)dt.
(78)
Таким образом, если в качестве коэффициентов А (X) и В (X) в (74) выбрать
соответственно
A(X)=fc(X), B(X)=fs(X),
то интеграл
Т (х, т) J [fc (A,) cos Хх + fs (A,) sin Хх] t
,-Ь'т
dX
(79)
является решением рассматриваемой задачи.
Другая, эквивалентная форма этого решения получается из (78):
00 00 Т(х, т) = 1 j f(l)cosXa-x)d^.
(80)
Последний интеграл можно еще преобразовать, меняя порядок интегрирования:
Т (х, т) = J / (?) J е~х'х cos X (? - х) dX.
(80')
Обозначив ?-x=q, можно внутренний интеграл свести к известному в
математике определенному интегралу:
К( т,
,-т^2 cos XqdX= т= е 4т
2 /я
(81)
Заменяя обратно q через ?- х и подставляя (81) в (80'), получаем,
окончательно:
Т (х, т) =
- f(l)e " (82)
ят J
2 /ii
Чтобы понять физический смысл полученного решения, допустим, что в
начальный момент времени (т = 0) температура бесконечного стержня была
равна нулю всюду, кроме окрестности точки х = 0, где Т = Т0 (рис. 38).
Можно себе представить, что в момент
I
7о
Рис. 38
129
т=0 элементу длины 2h стержня сообщили некоторое количество тепла Q0 =
2hcpT0, которое вызвало повышение температуры на этом участке до значения
Т0.
Следовательно, формула (82) принимает вид:
^ (?-*)а ft /е_ г)я
T{X'X)=TV= f т°е~ " ^ = AhV~ f e~^-
2уят J Ah у nx cp J
-ft -ft
Будем теперь уменьшать h, устремляя его к нулю, считая количество тепла
Q0 неизменным, т. е. введем понятие мгновенного точечного источника тепла
напряжения Q0, помещенного в момент времени т = 0 в точке * = 0. При этом
распределение температур в стержне будет определяться формулой:
" д-ху
Т (х, т) = -.^ lim-i- Г е iX dg,
2ф Удтл-о2/1 J **
или
Т(х, т) = -Щ е
2ф у дт
X
4Т
(83)
В частности, если Q0 = cp, то температура любой точки стержня
т
в произвольный момент времени t = - (а - коэффициент
температуропроводности) может быть найдена по формуле:
Т(х, t) =
1
lat
2 Ynat
(84)
Графически решение для различных моментов времени представлено на рисунке
39. Заметим, что величина
ср ^ Т (х, t) dx
есть общее количество тепла, полученное стержнем к моменту времени t:
Q (0
Т(х, 0 dx =
Ф
2 Yяа(
dx.
Но последний (справа) интеграл есть интеграл Пуассона:
] /?•
130
Поэтому получаем, что
Q (t) = ср = Q0 = const, что согласуется с законом сохранения энергии.
Глава III.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
§ 1. Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнение
Бесселя
Как показано было в ч. I, уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
имеет следующий вид:
лп 1 & I ди'\ 1 д2и д2и " /1Ч
р dp (р dp j +р2дф2+ дг2~ °' ^
Будем искать решение этого уравнения методом Фурье,
имея в виду, что искомая функция U (р, ср, г) зависит от
трех переменных.
Положим, что
^(Р. Ф. z) = V(p, z)<D(<P) (2)
и подставим это произведение в (1). Тогда
^-р1Р^+^7Ф"+Ф^ = 0-
Если полученное равенство умножить на ^ и член,
зависящий от ср, перенести вправо, то придем к равенству:
pdf p2d2V_ Ф"
I/ Лп Р Лп Т I/ /Т) /т'
V др [у др ) ^ V дг2 Ф (ср) '
Но равенство двух функций от различных аргументов возможно тогда и
только тогда, когда обе они равны
одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную
через v2, получаем два уравнения:
i4(pf)+rS"=°. <3>
<D" + v2<D(cp) = 0. (4)
Поскольку (3) является уравнением в частных производных, то применим к
нему метод Фурье с целью разделения переменных. Итак, пусть
V{p,z) = R(p)Z{z), (5)
131
Деля (3) на р2 и подставляя в него (5), приходим опять к равенству:
Делим далее на произведение RZ и переносим вправо член, зависящий от г:
