Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, функция (Ф)ф принимает форму:
Ф = Ae'mv + Be~im<t, (10')
а уравнение (9) соответственно запишется так:
(_____"LW_0 т
d02 + sin0 de + { sin2в]v ~и- >
Уравнение (9') называют обобщенным уравнением Лежандра. Если ввести новую
независимую переменную x = cos0 (при этом -1 1) и обозначить V (Q) =
y(x),
то обобщенное уравнение Лежандра принимает обычный вид1): -г
(1 - х2)у" - 2ху'+ Ху-j-Ту = 0. (11)
J) Действительно, x = cos0, dx = -sin0d0. Поэтому dV dydx -at W=TxTQ=-
smey' d*V d (dV\ d (dV\dx " " ,
d02 dQ [de \dQ Jd0~( x^y'
d2V dV
Подставляя и в (9), приходим к (11).
140
При m = О это уравнение имеет более простую форму уравнения Лежандра:
(1- х2)у" -2ху' + %у = 0. (12)
Таким образом, задача свелась к нахождению решений уравнения Лежандра
(9') и радиального уравнения (5). Обозначая их интегралы соответственно
через V (9) и R (г), представим искомую функцию в форме следующего
произведения :
U (г, 0, Ф) = Я(г)У(0)Ф(ф), (13)
где Ф(ф) имеет вид (10').
Перейдем теперь к изучению методов решений уравнений (9') и (5).
§ 2. Решение уравнения Лежандра
Будем искать интеграл уравнения Лежандра (12) с переменными
коэффициентами в виде ряда:
У(х)= 2 ak*h- (14)
k = о
Дифференцируя (14), получаем:
у'= ^kakxk-\ (14')
k = о
оо
\f= 2&(& - \)akxk~\ (14")
k = 0
Умножив у" (х) на (1-л:2) и у' на 2х и подставив полученные выражения в
(12), приходим к равенству:
оо сс - со
(1-х2) 2 k(k-\)акхк~2-2х 2 kakxk~l-\-% 2 акхк=0.
fe = О k - 0 * = О
Перенесем все члены, содержащие х в k-й степени, вправо: 2 k(k - \)акхк~2
= 2 [k(k - \) + 2k - K\akxk,
k = 0 k - 0
ИЛИ 00 00
2 k(k-\)акхк~2^ 2 [(*+1 )к-Цокхк. (16)
*=0 ft= 0 ' '
Поскольку согласно (15) должно иметь место равенство коэффициентов при
одинаковых степенях в обеих частях равенства, то
(к-\-2) (&+ 1 )ak+2 = [k (k-\-1) - Щак.
141
Отсюда получаем рекуррентную формулу:
*(* + !)-X ,1С.
к+2 (ft+ 2) (ft + 1)а*' ( ^
позволяющую выразить все четные коэффициенты ряда (14) через ад и все
нечетные через аг.
Таким образом, ряд (14) с коэффициентами, определяемыми по формуле (16) и
с произвольными значениями а0 и а15 является общим решением уравнения
Лежандра (12).
Обратим теперь внимание на то, что согласно равенству (16) при а1 = 0 все
нечетные коэффициенты ряда (14) обращаются в нуль (а3 = аь = а7 = ... =
0). При этом получим "четный" ряд:
У0 (*) = а0 + а3 + а2х2 + а4х4+ ..., (17)
являющийся частным решением уравнения (12). Аналогично, положив а" = 0
(но ауФ0), получим "нечетный" ряд:
У\ (х) = aix + азх3 + а5х6 + • • • , (18)
представляющий собой второе частное решение уравнения (12). При этом
коэффициенты рядов (17) и (18) вы-
числяются по формуле (16).
Таким образом, общее решение исходного уравнения можно записать так:
у(х) = Ау0(х) + Ву1(х). (19)
Однако задачу еще нельзя считать решенной. Дело в том, что в
математической физике нас интересуют не любые решения, а только такие,
которые удовлетворяют условиям однозначности, непрерывности и конечности.
Анализ же рядов (17) и (18) показывает, что последнему требованию они,
вообще говоря, не удовлетворяют. И только в том частном случае, когда
какой-нибудь из этих рядов "обрывается" на некотором члене и содержит
конечное число слагаемых, т. е. представляет собой многочлен, условие
ограниченности выражаемой им функции выполняется на всем отрезке - 1 х ^
1. Это может иметь место, если согласно формуле (16) обратится в нуль
какой-нибудь коэффициент; тогда и все последующие коэффициенты
автоматически станут нулевыми.
Остается заметить, что при 0 коэффициент а1+г исчезает только в том
случае, если постоянная X равна
142
произведению двух последовательных целых чисел I и / + 1:
>, = /(/+1). (20)
Только при выполнении равенства (20) можно получить конечные решения
уравнения Лежандра (12). При четном I следует выбрать частное решение у0
(х), которое в этом случае будет представлять собой многочлен l-й
степени. Если же I нечетно, то в многочлен l-й степени обратится ряд,
определяющий уг (х).
Таким образом, удовлетворяющее условию (20) уравнение Лежандра
(1 -х2)у"- 2ху' + / (/ + 1) г/ = 0 (12')
имеет ограниченное решение, которое представляет собой многочлен l-й
степени. При четном I это решение имеет вид:
у0=а0 + а2х* + ... +atxl, (18')
а при нечетном I оно имеет вид:
у1 = а1х-\-агх*... -\-atxl. (19')
Коэффициенты ак и в том, и в другом случае определяются через произвольно
выбранные а0 или аг по формуле:
ak+2 (k-\-2) (k-\-1)
Многочлены (18') и (19'), у которых соответствующие
коэффициенты а0 или выбраны таким образом, чтобы в точке х= \ значения
этих многочленов были равны 1, принято называть полиномами Лежандра и
обозначить через Pt(x).
Резюмируя, можно сказать, что уравнение Лежандра (12) только при X = /(/-
f 1) имеет ограниченные на отрезке -l^x^l решения, которые с точностью до
постоянного множителя являются полиномами Лежандра
pi (*)•
§ 3. Полиномы Лежандра
Познакомимся подробнее со свойствами различных полиномов Лежандра.
