Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 35

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 56 >> Следующая

T\i=0 = F(x)
g+M'U^.-o.
(61)
(62)
(63)
Приступаем к решению задачи.
Прежде всего, как и в § 1, введем новую независимую перемен-
ft
иую т=='ф I- Тогда уравнение (61) упростится: дТ дЧ
дх дх2 '
(61')
Рис. 36
Ищем его интеграл в виде произведения:
Т(х, т) = Х(х)У(х). (64)
Подставляя (64) в (61), получаем:
ZL-XL
X ~Y •
Приравнивая обе части одной и той же постоянной -X2, приходим к двум
обыкновенным уравнениям:
Х"-П2Х=0, ¦Y,+W = 0.
124
Решения их нам хорошо известны:
X (х) = A cos Хх-\-В sin Хх, (65)
Y(x) = ce-%H. (66)
Поскольку в рассматриваемом случае граничные условия не являются
нулевыми, то возникает новая ситуация. Так как условия
слева и справа от плоскости х = 0 совершенно одинаковы, то
в на-
чальный момент времени температура должна была быть распределенной
симметрично:
F(x) = F(-x).
Поэтому и в последующем распределение температуры должно оставаться
симметричным. Таким образом, функция X (х) должна быть четной, т. е.
Х(-х) = Х(х).
Отсюда вытекает далее, что коэффициент В в (65) равен нулю и вид функции
X (х) упрощается:
X (х) = A cos Хх. (65')
Поскольку в краевое условие (63) входит только производная
по х
и Т (х, т) = Х (х) Y (т), то функция X (х) должна
удовлетворять
условию:
Х'(а) + ЛХ(а) = 0. (63)
Используя (65'), получаем:
- АХ sin Ха + ЛЛ cos Ха = О,
откуда
tg Xa=j. (67)
Равенство (67) является трансцендентным уравнением для определения X.
Будем решать это уравнение графическим споссбом, для чего сначала умножим
числитель и знаменатель правой части на число а:
tg^ = y- (67')
Обозначим временно Ха -г и построим в системе координат (z, и) графики
кривых ut = tgz и ц2 = - (рис. 37). Ясно, что гипербола
и2 пересечет семейство тангенсоид бесчисленное множество раз. Это значит,
что уравнение (67') имеет бесконечное множество корней, причем с ростом z
= Xn точки пересечения zn приближаются к Хпа = пп (где л = 1, 2, ...),
так как tgz"->-0. Отметим, что Хп суть корни уравнения (67'). Отсюда
получается множество функций X (х), удовлетворяющих граничному условию
(63'):
Х" (х) = Ап cos Хп х. (65")
Подставляя (65") и (66) в (64), получаем множество функций:
-А,2 х
Тп = М"е п cos Хп х,
удовлетворяющих уравнению (61) и граничному уолоцию (03). Чтобы получить
решение, удовлетворяющее еще и на48ЛМГбму условию,
125
Рис. 37
составляем уже известным нам приемом бесконечную сумму:
т (х'=.2 Тг'= 2 Мпв~ Кпт cos k,lX-п - 1 л
Выясним теперь, каковы должны быть коэффициенты Л1", чтобы при т->-0 ряд,
получающийся из функции Т", сходился к заданной функции F (х), т. е.
чтобы
ю
2 М" cos 1"х = F (х). (69)
л = 1
Во всех предыдущих примерах мы сталкивались с разложением функции в ряд
по синусам и косинусам кратных аргументов, т, е. с рядами Фурье. В левой
части же равенства (69) стоит бесконечная сумма косинусов, аргументы
которых отличаются нецелочисленными множителями Я".
Легко, однако, показать, что функции cos Я" х являются взаимно
ортогональными, т. е.
а
^ cos Яд* cos кпх -4х = 0.

С другой стороны, они не нормированы, т. е. а
^ cos2 Яп dx ф 1.

В теории рядов "Фурье доказывается, что произвольную функцию /> (х) можно
раздевать в .ряд до..семейств у ортогональных .ненорми-
126
роваиных функций Xt (х), Х2 (дг)^..
f(x)=^fnXn(x).
П
Но в отлитое от о^ичиик рядов Фурье обфбвдетгае коэффициент*" Фурье fn
определяются по формуле:
"а - 1 а
fn= S Xkdx 5 f(x)Xn(x)dx.
_-а J -а
Таким образом, для удовлетворения условия (69) необходимо положить
произвольные числа Мп равными обобщенным коэффициентам Фурье:
^ F (х) cos X^x-d:
- а
а
^ cos2knx-dx
Подставляя теперь значения Мп в (68), получаем окончательное выражение
для искомой функции Т (х, t):
т (х, 0=2 Fп*
П- 1
-- ^п' ср п
cos к"х.
(70)
§ 6. Озитясдеяие бесконечного стержня
Пусть температура тонкого теплопроводного стержня бесконечной длины в
начальный момент была распределена по закону:
Т I f=o = / (*)• (71)
Определим температуру в каждой точке стержня в любой последующий момент
времени t > 0.
Ясно, что это частный случай задачи Коши, которая сводится к определению
функции Т (х, т), удовлетворяющей уравнению
^где т = и начальному условию (71).
С физической точки зрения эта задача аналогична рассмотренной в § 1 этой
главы с тем отличием, что здесь нет граничных условий. Ясно поэтому, что,
разделяя переменные по методу Фурье, можно представить решение уравнения
(72) в виде:
Т (х, т) = (A cos кх-\-В sin кх) (73)
В случае стержня конечной длины I мы определяли из граничных условий
дискретное множество возможных значений параметра Я;
, л
^73 - Л ~j~ I
m
где каждому значку я соответствуют некоторые коэффициенты Ап и Вп. Чем
длиннее стержень, тем гуще множество значений к" (расстояние между к" и
А,л+1 равно -у и стремится к нулю, когда /->-оо).
Поэтому для бесконечного отержня к может иметь любое значение от 0 до оо.
Таким образом, каждому значению к соответствует частное решение:
(х, т) = [А {к) cos кх-{-В (A,) sin кх] е~^н. (73)
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed