Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Дф+|1(Е_?/)ф = 0, (IV)
где т - масса частицы, fi-постоянная Планка, U - потенциальная энергия,
которая должна быть задана условиями задачи, Е-полная энергия частицы,
играющая роль параметра.
Поясним подробнее последнее утверждение. Поскольку квадрат волновой
функции |ф|2 имеет смысл плотности вероятности, то ф-функция должна еще
удовлетворять естественным физическим условиям: она должна быть
непрерывной, однозначной и конечной; интеграл же,по всему бесконечному
пространству от |ф|2 по самому смыслу этой величины есть вероятность
достоверного события,
т. е. ^|ф|2^г>=1 (условие нормировки).
При этом оказывается, что во многих случаях не при любых значениях полной
энергии Е решение уравнения Шредингера может удовлетворять указанным
физическим условиям. Решая это уравнение и накладывая на ф стан-
99
дартные условия, мы определяем все значения энергии Е, которыми может
обладать микрочастица при заданных условиях.
Уравнение Шредингера является основным дифференциальным уравнением
квантовой механики и, следовательно, одним из самых распространенных
типов уравнений в частных производных математической физики.
Мы познакомились с рядом дифференциальных уравнений математической
физики. Прежде чем перейти к рассмотрению и-х решений, сведем в единую
таблицу основные типы этих уравнений:
1) Д^- = и2АU - волновое уравнение, дТ
2) ~^- = а-АТ- уравнение теплопроводности,
3) Дф = 0-уравнение Лапласа,
4) Дф = - р-уравнение Пуассона,
5) Пф = '-р - уравнение Даламбера,
6) Дф+(? - (7)ф = 0 - уравнение Шредингера.
§ 6. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
Каждое уравнение в частных производных, как и обыкновенное
дифференциальное уравнение, в подавляющем большинстве случаев имеет
бесчисленное множество частных решений. Таким образом, любое
дифференциальное уравнение (как обыкновенное, так и в частных
производных) определяет, вообще говоря, некоторый класс удовлетворяющих
этому уравнению функций, совокупность которых образует так называемый
общий интеграл (общее решение).
Однако между общими решениями обыкновенных дифференциальных уравнений и
общими решениями уравнений в частных производных имеется существенное
различие, из-за чего методы нахождения этих решений в конкретных частных
задачах различны.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка:
/(*, у, у', у", ...,УШ)) = 0.
Его общий интеграл, как известно, представляет собой некоторое семейство
функций, зависящее от п произволь-
на
ных постоянных (параметров):
У = F (х, с" с2 с").
Любое частное решение получается из него, если параметрам clt с2, сп
придать определенные значения. Например, в случае уравнения у" + у = 0
общий интеграл имеет вид:
Если в начальный момент времени t =-¦ 0 искомая функция у (х) должна
удовлетворять условиям y/t=0 = 1, y'/t=a = = 1, то мы легко найдем
соответствующие значения параметров ct и с2, подставив в общее решение
эти начальные значения для у и у':
откуда ct= 1, с2= 1. Следовательно, соответствующее частное решение
запишется так:
t/ = cosi + sinC
У дифференциального уравнения в частных производных общий интеграл
содержит, как мы сейчас увидим, произвольные функции, количество которых
равно порядку уравнения.
Пусть дано уравнение:
Найдем его общий интеграл, т. е. функцию и (х, у), удовлетворяющую (28).
Для этого сначала запишем это уравнение в виде:
Поскольку производная по х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то
последняя является некоторой произвольной функцией от у.
Но интегрируя произвольную функцию f(y), получим новую, также
произвольную функцию, скажем F (у), плюс
у ~с1 cos t + с2 sin С
у (0) = с1 cos 0 + с2 sin 0 = 1, г/" = - ct sin 0 + сг cos 0=1,
Поэтому
101
произвольная функция Ф (х) переменной х (последняя играет роль постоянной
интегрирования у обыкновенных дифференциальных уравнений).
Таким образом, общий интеграл уравнения второго порядка (28)
и (х, у) = Ф (х) + F (у)
содержит две произвольные функции.
Еще один пример. Найдем общее решение уравнения второго порядка:
^^ = 0- (29)
Подставим его в форме:
?(?)-"¦
Тогда сразу ясно, что = / (х), где / (х)- какая угодно функция.
Интегрируя последнее равенство, находим:
"(*, y)=\f (х) dy + ф (х), или окончательно:
"(х, y)=yf(x) + Ф(х),
где ф (х) - тоже произвольная функция от х.
Следовательно, и в этом случае общий интеграл содержит две произвольные
функции.
Легко убедиться, что такое положение имеет место и для более сложных
уравнений в частных производных. Ниже будет показано, например, что с
помощью замены переменных общее уравнение второго порядка
aS+2bSk+cw=° <30>
сеодится к одному из простейших уравнений - (23) или (24). Поэтому его
общий интеграл также содержит две произвольные функции, положим Фф и F
(у).
Чтобы теперь из общего интеграла уравнения в частных производных найти
определенное частное решение, нужно найти конкретный вид функции Ф (х) и
F{y).
Однако-и в этом состоит причина существенного различия методов решения
