Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому полезно сформулировать условия, которым должны удовлетворять
функции х (<7i, <72> Яз), У (<7i> <7а. ?з). z(<7i, q2, qa), чтобы
координатная система была ортогональной.
Как известно из аналитической геометрии^ условие перпендикулярности двух
прямых, образующих с осями координат углы а, 0, у и а', |J', у', сводится
к равенству: cos а • cos а' + cos (5 • cos Р' + cos у • cos у' = 0.
76
Поскольку косинусы углов между касательной к координатной линии qt с
прямоугольными осями координат х, у, z пропорциональны соответствующим
частным про-дх ду дг
изводным , то мы получим следующие усло-
вия взаимной перпендикулярности координатных кривых 4i " Я/-
дх дх , ду ду . дг дг ~
'dqi dqj "Г dqj + dft Щ ~ ^ '
Чтобы криволинейная система координат qlt q2, q3 была ортогональной, ее
координатные линии должны представлять собой три взаимно перпендикулярных
семейства кривых и, следовательно, функции x(qv q2, q3), y(qlt q2, q3) и
z (qlt q2, q3) должны удовлетворять трем условиям типа (4). В
математической физике чаще всего пользуются ортогональными системами
координат. Поэтому в дальнейшем, говоря о криволинейных координатах,
будем всегда считать их ортогональными.
§ 2. Коэффициенты Лямэ
Выразим прежде всего элемент дуги ds. В прямоугольных декартовых
координатах, как известно,
ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (5)
Дифференцируя равенство (1), получим:
, дх , . дх , , дх 1
dx-fr^dq1+Qj-dqa + j^dq3,
dy = ^d^ + w,d'>'+w,iq"
, дг , . дг , . дг , (1 )
dz = - dqi+wJ42+ - dq3.
Подставляя (Г) в (5) и принимая во внимание услозие ортогональности (4),
найдем, что
ds>=Hldql + H\dql + Hldql, (6)
где Ни Н2, Н3 - так называемые коэффициенты Лямэ, определяемые следующей
формулой:
"л
(Обратим внимание на то, что равенство (6) не содержит произведений
dq^qj. Ясно, что это является следствием ортогональности координат qv q2,
q3.)
П
Рис. 25
Коэффициенты Лямэ Я,- устанавливают связь между прямоугольными
декартовыми и криволинейными ортогональными координатами. Положение
криволинейной системы относительно декартовой не влияет на вид этих
коэффициентов. Как ясно из самого вывода, коэффициенты Лямэ имеют
инвариантный характер и однозначно определяют данную криволинейную
систему координат.
Из формулы (6) следует, что элемент дуги координатной линии равен
ds = Н idqi. (8)
Отсюда для коэффициента Лямэ получаем выражение
-L (9)
dqt ' {J)
показывающее, что Нt характеризует быстроту изменения
длины дуги координатной линии при варьировании этой координаты. Легко
видеть, что площадь элементарного криволинейного квадрата и объем
элементарного кубика, стороны которых являются отрезками координатных
линий (рис. 25), определяются с точностью до бесконечно малых второго
порядка равенствами:
da^HiH /dqidqf, (10)
dV = НХН %Н ^q^dq^dq^ (11)
Легко показать, что коэффициенты Лямэ для прямоугольной декартовой
системы координат равны Нх - Ну= = Иг = 1, для цилиндрической
(р, ф, г) -Я0 -1, Иф = р, Яг=Л, (12)
для сферической
(г, 9, ф)_Яг= 1, Hti = r, Яф = г sin 9. (13)
Примеры
1. Показать, что плоская эллиптическая система координат (?, д),
определяемая соотношениями
x = ch |-cos rp f/ = sh?-sinri, (14)
Я,=-
78
ортогональна, и вычислить коэффициенты Лямэ для этой системы координат.
Чтобы найти вид координатных линий, преобразуем формулы (14) двумя
способами:
chg
= COS Г],
shg
COST|
chg,
sin и
= Sin T],
Рис. 26
Одну из переменных можно исключить, если
равенства (14') возвести в квадрат и сложить, а возведенные в квадрат
равенства (14") вычесть друг из друга:
shg2
У2
1.
Из (15)
cos- и вытекает, что
sin55 Т]
1.
(15)
(16)
координатные линии г] (вдоль которых |= const) являются эллипсами, оси
которых совпадают с декартовыми осями координат. Более того, поскольку
большая и малая полуоси равны соответственно a = eh | и b = sh ?, то
фокусное расстояние с = ]/га2-Ьг= 1, т. е. одинаково для всех ?. Это
значит, что семейство координатных кривых т] есть семейство софокусных
эллипсов (рис. 26). Характер второго семейства координатных кривых
следует из выражения (16). А именно, положив в нем г) = const, находим,
что линии | представляют собой семейство гипербол с теми же фокусами, что
и у эллипсов. Проверим теперь, выполняется ли условие ортогональности,
Для этого вычислим частные производные:
дх , р
= - ch g-sinr),
^ = cosr]-shg, щ = sin т] • ch g,
К
ду
dr)
= sh |-cosh.
Пользуясь этими выражениями, убеждаемся в том, что
дх дх .ду ду д1 ' <Эг| <Эг|
т. е. что линии | и т] взаимно перпендикулярны.
= 0,
79
Наконец, вычислим коэффициенты Лямэ. Прежде всего легко убедиться, что
коэффициенты Н? и Яп равны между собой и выражаются так:
= = }/cos2 r)-sh2 ? + sin2r|-cha?.
Учитывая, что sin2 т) = 1-cos2ti и ch2 g = 1 +sh2 ?, получаем
окончательно:
H^H^Vs h2g + sin2^. (17)
2. Показать, что плоская параболическая система координат (и, v),
связанная с прямоугольными декартовыми координатами (х, у) соотношениями
x = i(u - и), у=Уш, (18)
