Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
является ортогональной. Определить коэффициенты Лямэ.
Чтобы найти уравнения координатных линий и и и, выразим каждую из этих
переменных через х и у:
U=--XJr]/rX2 + y2, 0 = - x + V х2 + у2.
(19)
Семейство координатных линий и мы определим, положив
в (19) v = c:
с = - x + Vx2 + y2, у2 = 2сх + с2.
Это-симметричные относительно оси X софокусные параболы с фокусом в
начале координат и вершинами в точках х = - с/2 (кривые слева на рисунке
27). Аналогично, общее уравнение координатных кривых v при и = с' имеет
вид:
г/а = - 2c'x~}-c'\
отсюда ясно, что линии v также представляют собой соосные параболы с
фокусом в точке О, но повернутые в противоположную сторону (кривые справа
на рис. 27).
Взаимная перпендикуляр-Рис. 27 ность кривых и и v
устанавли-
80
вается с помощью условий (4) и (18):
- - п
ди dv'dudu
Для коэффициентов Лямэ получаем следующие выражения: ____
________________
н.-т/ф. H.-bVW- <20>
§ 3. Основные дифференциальные операции в криволинейных координатах
1. Градиент скалярной функции. Как было показано в главе I, градиент
скалярной функции ср представляет собой вектор grad ср, проекция которого
на произвольное направление I равна производной от ср по этому
направлению:
grad,cp = -^,
где dl-длина отрезка, взятого вдоль направления I.
Пусть вектор grad ср задан в некоторой точке пространства М, Через нее
проходят три взаимно перпендикулярные линии qv q2, q3. Проведем в точке М
касательные к этим линиям и вдоль этих касательных отложим (в направлении
возрастания координат) единичные орты
ei> еи, ез (Рис- 28). Эта тройка ортогональных ортов, называемая базисом
(или репером), образует локальную
81
(местную) прямоугольную систему координат. Ясно, что в характеризуемых
криволинейными координатами точках пространства реперы будут, вообще
говоря, разные. Проекция вектора grad ср на направление координатных
линий (т. е. на касательные к этим линиям в точке М) равна:
(gradf^g,
где dst-длина дуги координатной кривой qt. Но согласно (8) ds- Нi-dq-r
Поэтому
(grad <р)4. = ~ . (21)
Следовательно, градиент скалярной функции в некоторой точке пространства
определяется в криволинейной системе координат тремя проекциями на
координатные линии, проходящие через эту точку:
= + (22)
Необходимо только иметь в виду, что в отличие от прямоугольных координат
компоненты градиента (grad^. ср) меняются от точки к точке не только
вследствие того, что Ф - переменная величина, но, вообще говоря, еще из-
за непостоянства значения Я,- и непостоянства направления
в пространстве соответствующего орта et.
2. Дивергенция векторной функции. В главе III была выведена формула,
которая может служить инвариантным определением дивергенции:
div а = -~. (23)
Здесь dV-элемент объема, выражающийся в криволинейных координатах
согласно (11) формулой dV = = tf 1#2#3d(71d(72d<73, a dN определяет поток
вектора через малую замкнутую поверхность Да, ограничивающую объем dV:
dN = <jj) anda.
ДО
В качестве элементарного объема dV выберем криволинейный кубик, гранями
которого являются участки координатных поверхностей (см. рис. 25).
Рассмотрим две грани, перпендикулярные qx - левую 1 и правую 2.
82
Площадь грани 1 равна:
do1 = Н2 (qx) Н 3 (cjy) dq2dq3.
Соответственно площадь грани 2 запишется так: da2 = H2 (qt + dqj Н3 (qx +
dqt) dq2dq3.
Пусть переменный вектор а в точках элементарной
грани 1 принимает значение a (qj, а в точках грани 2-
соответственно a (q1 + dq1). Так как координатная линия qi
перпендикулярна к обеим этим граням, то нормальные про-
-У -У
екции векторов a(ql) и a(q1 + dq1) с учетом направлений нормали принимают
значения: -QqAQi) и ая, (Qi + dq^). Поэтому результирующий поток вдоль qt
равен:
dNq, = -aqtH2 (qA Н, (4l) dq2dq3 + aq, (qt +dqj H (?1 -f dqj X y-H3(q1 +
dq1)dq2dq3,
или, пользуясь формулой Тейлора и отбрасывая малые высших порядков,
dNt>¦ d^ dci* dcr*-
Полный же поток через все грани кубика определяется равенством:
dN = (н*н"а<,)+ J +
+ -^(HlH2aq)^dq1dq2dqa. (24)
Подставляя это соотношение в (23) и учитывая (11), получаем выражение для
дивергенции в криволинейных
координатах:
div а== НХН2Н3 +
+ + • (25)
3, Оператор Лапласа. В прямоугольных декартовых координатах оператор
Лапласа, или лапласиан, представляет собой сумму вторых частных
производных по координатам:
А - д2 &l д*
дх2 ду2 дг2 '
Чтобы получить выражение лапласиана в криволинейных
83
координатах воспользуемся соотношением:
A(p = div gradtp. (26)
->
Обозначим grad(p = a. Тогда согласно (21)
1 Эф * , .
^а-тг-л и Atp = diva.
4l Н{ dqi т
Используя формулу (25), в которую вместо aq. подставим
1 Эф
приходим к искомому выражению:
А =
Н\Н2Н3
f д (Н2Н3 \Э?х I 6
э_
Э?1
+
Э !НХН3 д Э?2 \ н2 dq2
+
+ '
Э?3 \ нз dch
')}¦
(27)
4. Ротор векторной функции. Для получения выражения ротора в
криволинейных координатах будем исходить из инвариантного соотношения
(32) главы II:
, - d г rot"a = -г-, 11 do
(28)
Выберем в качестве элементарной площадки da малый криволинейный
