Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 20

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

выра-жаются через лапласиан Дф и не зависят от Ь.
§11. Физические векторные и тензорные поля в четырехмерном пространстве-
времени
В настоящем параграфе мы рассмотрим примеры четырехмерных векторных и
тензорных величин, встречающихся в физике.
69
Математический аппарат теории относительности пользуется своеобразным
пространством четырех измерений, где три измерения х1У х2, х3 берутся по
обычным осям координат X, Y, Z (пространственные оси), а четвертым
измерением х4 служит мнимая координата id (где i = V-1. с-скорость света,
t-время). Такое пространство называют псевдоевклидовым (см. ч. III); оно
обладает некоторыми своеобразными свойствами, на которые мы укажем ниже.
Каждая точка характеризуется четырьмя координатами, из которых три-хи хг,
х3 являются действительными числами, а четвертая х4 - мнимая.
Прямолинейный отрезок, соединяющий две точки М (х[, х'г, х3у х'4) и N
(х"1у х\, х'3, х"4), представляет собой четырехмерный вектор a=MN,
компоненты которого ak = x"k-x'k (где 1, 2, 3, 4). Согласно формуле (3)
квадрат длины четырехмерного вектора
\a\2 = al + ai + a23 + al
в отличие от евклидова пространства может из-за мнимости а4 быть не
только положительной, но и отрицательной величиной, а также равняться
нулю.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов в псевдоевклидовом
пространстве определяется по аналогии с обычным скалярным произведением
(в трехмерном пространстве) так:
(а, Ь) = "А + a3b3 + a3b3 + a4bt.
При этом, как легко убедиться, стоящая справа сумма произведений
компонентов является инвариантом, не меняющимся при повороте
четырехмерной системы координат.
Однако в отличие от обычного пространства величина (а, Ь) может быть не
только положительной, но и отрицательной, а также равняться нулю. В
последнем
случае векторы а и b называют взаимно перпендикулярными.
Два четырехмерных вектора а и b можно перемножить тензорно, в результате
чего получается четырех -
70
мерная диада
<*А аА aLb з аА
аА аА аА аА
а А а3Ь2 а3Ь3 a3bt
аА а,Ь2 аА аА
D={a, b} =
Однако векторное произведение четырехмер-' ных векторов существенно
отличается от векторного произведения в трехмерном пространстве. Дело в
том, что векторное произведение двух векторов любой размерности, по-
существу, является антисимметричным тензором, равным удвоенной
антисимметричной части диады. В случае трехмерного пространства этот
тензор
имеет три существенно различные компоненты и ему можно сопоставить
трехмерный вектор
0 а1Ь2 - а2Ь1 аА - ¦аА
аА -аА 0 а2Ь3 а3Ь2
а3Ь3 -аА а3Ь2 а2Ь3 0
[а, ft]=
антисиммет-
В случае же четырехмерного пространства ричная часть диады содержит 6
компонентов типа & = = a.ibk-akbh в то время как вектор в четырехмерном
пространстве имеет только 4 компонента. Следовательно,
/*ч
антисимметричному тензору DA никакой вектор сопоставить нельзя. Мы
приходим к выводу, что роль вектор-
ного произведения двух четырехмерных векторов а и b играет
антисимметричный четырехмерный тензор
оА =
Легко
ляются действительными, а остальные три (содержащие индекс "4") -
мнимыми. Подобным же образом обобщаются на случай четырехмерного
пространства остальные операции векторной и тензорной алгебры.
0 аА -аА аА -аА аА~ а А
аА - <* А 0 аА а3Ь2 аА- ¦аА
а3Ьг - а3Ь3 а3Ь2 а%Ь3 0 аА - а А
аА - аА аА -аА аА -аА 0
понять, что из шести его компонентов три яв-
71
Рассмотрим подробнее четырех мерные дифференциальные операции векторного
анализа.
Проще всего эти операции обобщаются с помощью четырех мерного векторного
оператора набла:
v==li d^+l2^+l3ftT3+l4 дГ,- (59)
Градиентом скалярной функции в четырехмерном пространстве называется
четырех мерный вектор:
grad ф = Тф = X. щ • (60)
*=1
Четырехмерной дивергенцией векторной функции а (г) назовем инвариантную
величину:
divflEsfv, а) = ?0*- (61)
В частности, если вектор а является четырехмерным градиентом скалярной
функции ф, то, подставляя (60) в (61), получаем:
4
div й = divgrad ф = . (62)
к дх"
Эту величину обозначают символом Пф (где ?-четырехмерный лапласиан, или
даламбериан). С помощью оператора V легко получается выражение и для
дифференциальной операции, называемой четырехмерным ротором-.
rot й = 2 {v • а)А -
q fda_1__даг\ ! d<h_____даЛ (dai____да^\
\д*2 дхг) \ дх3 дх1) \д*4 дх1)
(да2 ?аЛ q ( dth даз\ ( да^ да4 \
\d*i дх2) \ дх3 дхг) \ дх4 дх2)
(да3 даЛ ( даз dog\ q / да^ дд4\
V^i дх3) \дх2 дх3) \дх4 дх3)
[ да4__даЛ f dai даЛ f да^_даЛ ~
дх4) \ дх2 дх4) \ дх3 дх4)
Величина rot а представляет собой удвоенную антисим-
метричную часть тензорного произведения векторов V и
й (диады).
72
: Наконец, производная четырехмерной векторной функ--^ ^
ции а по радиус-вектору г представляет собой тензор:
да . -л
- = {V-a} =
аг
да,*
(64)
После такого краткого ознакомления с четырехмерным пространством-временем
приведем несколько примеров конкретных физических векторных и тензорных
полей.
1. С точки зрения теории относительности электрическое и магнитное поля
являются различными аспектами единого электромагнитного поля. Последнее
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed