Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
обхода линии принято таким, чтобы ограничиваемая этой линией поверхность
оставалась слева). Тогда криволинейный интеграл вектора по линии L
называется циркуляцией Г:
Г = (j) cttdl = (f adr = j) (axdx-\-aydy+ a2dz). (32)
L L L
Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это свойство состоит в
следующем. Положим, что контур L, по которому определяется циркуляция Г,
ограничивает поверхность S. Разобьем последнюю на части St и S2,
ограничиваемые контурами L, и La (рис. 19). Поскольку интегралы по
внутренним участкам этих контуров одинаковы
Рис. 20
58
по модулям, но имеют противоположные знаки, то
г=г1+г2.
Таким образом, циркуляция, "порожденная" на поверхности S, равна сумме
циркуляций 1\ и Г2, "порожденных" частями этой поверхности и S2. Учитывая
это, можно ввести понятие "плотности порождения циркуля-
dr "
ции"^-, отнесенной к единице площади поверхности.
-
Рассмотрим плоское векторное поле а(х, у). Выберем в нем бесконечно малый
прямоугольник (рис. 20) с площадью Д5 и вычислим циркуляцию ДГ по его
контуру (ДЕ). Очевидно,
ДГ = ^(axdx + aydy) = <\j axdx+<\j aydy+ $ axdx+\ aydy.
Д L (1) (2) (3) (4)
Можно показать, что с точностью до бесконечно малых высшего порядка
АГ = (ж-dx dy = rot" "'А5'
->
где п-единичный вектор нормали к площадке Д5. В общем случае трехмерного
поля н произвольно ориентированной площадки циркуляция по бесконечно
малому замкнутому контуру определяется такой же формулой, поэтому всегда
%=Tot пО, (32)
т. е. rota есть предел отношения циркуляции ftaldl по
ДL
нормальному малому контуру ДL к величине площадки AS, ограниченной этим
контуром при AS-vO.
Если в пространстве задана конечная замкнутая кривая L, ограничивающая
поверхность S, то получаем интегральное равенство, называемое теоремой
Стокса'.
ft aL dl = ^ rot" a-dS. (33)
l s
-У-
Циркуляция переменного вектора а по произвольной замкнутой кривой L равна
потоку ротора этого вектора через поверхность S, опирающуюся на контур L.
Для выяснения аналитического смысла ротора как
векторной производной векторного поля и (г) (для нагляд-
м
ности положим, что и - вектор смещения точек сплошной среды) поступим
следующим образом. Рассмотрим тонкую векторную трубку, внутри которой
находится точка М, и проведем через эту точку нормальное сечение AS,
которое с точностью до малых высшего порядка можно считать плоским.
Построим теперь в каждой точке
-у
площадки AS векторы udx (где Дт-некая малая величина, которую для
краткости назовем "относительным параметром смещения"). Ясно, что
геометрическое место
-у
концов векторов и-Дт образует новое сечение AS' векторной трубки.
Площадка AS' не только смещена относительно As, но и отличается от нее
как по форме, так
и по ориентации в пространстве. Эти изменения харак-
->
теризуются тензором-производной -, причем его симмет-
dr
ричная часть us определяет деформацию площадки AS,
->
а антисимметричная часть rot и определяет величину ее поворота в
пространстве. Угол Дер поворота площадки, как нетрудно показать, равен
Дф = A-rot и- Дт.
Это приближенное равенство становится точным в пределе при Дт-> 0:
roU = 2g. (34)
Понятно, что множитель 2 не имеет принципиального значения, поэтому можно
сделать следующий вывод.
Ротор векторной функции характеризует быстроту поворота сечения векторной
трубки при перемещении его
точек на расстояния, пропорциональные векторам и.
-У -У -У
В том случае, когда векторная функция u^sv(r) определяет поле скоростей
частиц деформируемого тела, остается справедливой формула (31),
полученная нами для твердого тела, т. е.
-у ->
rot и - 2со.
Ротор линейной скорости в каждой точке равномерно движущейся сплошной
среды равен удвоенному вектору угловой скорости вращения элемента объема,
окружающего данную точку.
60
wtv
zotu
Ш
Л
о
л
о
а
б
Рис. 21
Точки поля, где rot v Ф 0, называются вихрями потока. Наглядное
представление о роторе скорости можно получить с помощью такого примера.
Пусть скорости частичек воды на поверхности реки образуют некоторое
векторное поле v(x,y). Бросим в реку множество небольших полосок фанеры.
В тех местах, где полоски плывут
поступательно, не вращаясь, rot v = 0. Наоборот, на уча-
стках потока, где rot v =7^=0, т. е. где существуют вихри, полоски фанеры
будут вращаться, и тем быстрее, чем больше по модулю rot v.
На рисунке 21,а и б графически представлены век-->
торные поля rot v плоских течений жидкости, для которых скорости заданы
формулами:
• ¦ > -> -> -> J -^ -> 1 ¦ >
а) y==r2f(o0, г], б) ^ = - [со0, г], где со0 = const.
§ 8. Оператор Гамильтона
Большинство дифференциальных операций в теории поля упрощается при
введении оператора Гамильтона, называемого еще символически вектором
"набла" (у):
С его помощью основные действия по дифференцированию скалярных и
векторных функций сводятся к соответствующему умножению оператора у на
эти функции.
(35)
61
Градиент скалярного поля
8Ыф=Г4+?|+^
можно представить как произведение вектора у на ска' ляр <р:
